Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 x^{2}}} d x$

Paso 1

Sea $x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2}$ es positiva.

$\int \frac{1}{\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{1} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.1.5

Evalúa el exponente.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.2

Combina $\frac{\sqrt{3}}{2}$ y $\sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 {(\frac{\sqrt{3} \sin (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.3

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.1.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3} \sin (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{{(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.3.2

Aplica la regla del producto a $\sqrt{3} \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{{\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.4

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{1} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.4.5

Evalúa el exponente.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3 \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.6

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.1.6.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 + 4 (- 1) \frac{3 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.6.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 + 4 \cdot - 1 \frac{3 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.6.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 (3 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1) - 3 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $3$ de $- 3 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $3$ de $3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.6

Reordena $3$ y $\cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$\int \frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Multiplica $\frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{\cos (t) \sqrt{3} \cdot 2} d t$

Paso 2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (t) \sqrt{3}$ .

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2 \cdot (\cos (t) \sqrt{3})} d t$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común de $\sqrt{3}$ .

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Paso 2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2 \cos (t) \sqrt{3}} d t$

Paso 2.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{\cos (t)}{2 \cos (t)} d t$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $\cos (t)$ .

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Paso 2.2.4.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{\cos (t)}{2 \cos (t)} d t$

Paso 2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{2} d t$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} t + C$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{2 x}{\sqrt{3}})$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (\frac{2 x}{\sqrt{3}}) + C$

Paso 4.2

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} \arcsin (\frac{2}{\sqrt{3}} x) + C$