Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\sqrt{2}}{3 t^{2} + 3} d t$

Paso 1

Dado que $\sqrt{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\sqrt{2}$ fuera de la integral.

$\sqrt{2} \int \frac{1}{3 t^{2} + 3} d t$

Paso 2

Reordena $3 t^{2}$ y $3$ .

$\sqrt{2} \int \frac{1}{3 + 3 t^{2}} d t$

Paso 3

Factoriza $3$ de $3 + 3 t^{2}$ .

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Paso 3.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\sqrt{2} \int \frac{1}{3 \cdot 1 + 3 t^{2}} d t$

Paso 3.2

Factoriza $3$ de $3 \cdot 1$ .

$\sqrt{2} \int \frac{1}{3 (1) + 3 t^{2}} d t$

Paso 3.3

Factoriza $3$ de $3 t^{2}$ .

$\sqrt{2} \int \frac{1}{3 (1) + 3 (t^{2})} d t$

Paso 3.4

Factoriza $3$ de $3 (1) + 3 (t^{2})$ .

$\sqrt{2} \int \frac{1}{3 (1 + t^{2})} d t$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\sqrt{2} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + t^{2}} d t)$

Paso 5

Combina fracciones.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{3} \int \frac{1}{1 + t^{2}} d t$

Paso 5.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{3} \int \frac{1}{1^{2} + t^{2}} d t$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{1^{2} + t^{2}}$ con respecto a $t$ es $\arctan (t) + C$ .

$\frac{\sqrt{2}}{3} (\arctan (t) + C)$

Paso 7

Simplifica.

$\frac{\sqrt{2}}{3} \arctan (t) + C$