Cálculo Ejemplos

$\int \frac{t^{3} + \sqrt[3]{t}}{t^{2}} d t$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{t}$ como $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{t^{3} + t^{\frac{1}{3}}}{t^{2}} d t$

Paso 1.1.2

Factoriza $t^{\frac{1}{3}}$ de $t^{3} + t^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 1.1.2.1

Factoriza $t^{\frac{1}{3}}$ de $t^{3}$ .

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}}}{t^{2}} d t$

Paso 1.1.2.2

Multiplica por $1$ .

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{t^{2}} d t$

Paso 1.1.2.3

Factoriza $t^{\frac{1}{3}}$ de $t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}} \cdot 1$ .

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} (t^{\frac{8}{3}} + 1)}{t^{2}} d t$

Paso 1.2

Mueve $t^{\frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2} t^{- \frac{1}{3}}} d t$

Paso 1.3

Multiplica $t^{2}$ por $t^{- \frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2 - \frac{1}{3}}} d t$

Paso 1.3.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}} d t$

Paso 1.3.3

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}}} d t$

Paso 1.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{2 \cdot 3 - 1}{3}}} d t$

Paso 1.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.5.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{6 - 1}{3}}} d t$

Paso 1.3.5.2

Resta $1$ de $6$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{5}{3}}} d t$

Paso 2

Mueve $t^{\frac{5}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) {(t^{\frac{5}{3}})}^{- 1} d t$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(t^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{5}{3} \cdot - 1} d t$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{5}{3}$ y $- 1$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{5 \cdot - 1}{3}} d t$

Paso 3.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{- 5}{3}} d t$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{- \frac{5}{3}} d t$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int t^{\frac{8}{3}} t^{- \frac{5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Paso 4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int t^{\frac{8}{3} - \frac{5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Paso 4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int t^{\frac{8 - 5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Paso 4.4

Resta $5$ de $8$ .

$\int t^{\frac{3}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Paso 4.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.5.1

Cancela el factor común.

$\int t^{\frac{3}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Paso 4.5.2

Reescribe la expresión.

$\int t^{1} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Paso 4.6

Simplifica.

$\int t + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Paso 4.7

Multiplica $t^{- \frac{5}{3}}$ por $1$ .

$\int t + t^{- \frac{5}{3}} d t$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int t d t + \int t^{- \frac{5}{3}} d t$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + \int t^{- \frac{5}{3}} d t$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{- \frac{5}{3}}$ con respecto a $t$ es $- \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C - \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}} + C$

Paso 8

Simplifica.

$\frac{1}{2} t^{2} - \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}} + C$