Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}} d x$

Paso 2

Sea $x = 2 \sec (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec (t) \tan (t)$ es positiva.

$\int \frac{1}{\sqrt{{({(2 \sec (t))}^{2} - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica $\sqrt{{({(2 \sec (t))}^{2} - 4)}^{3}}$ .

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2^{2} \sec^{2} (t) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \sec^{2} (t) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.1.2

Factoriza $4$ de $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 (\sec^{2} (t)) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.1.3

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.1.4

Factoriza $4$ de $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 (\sec^{2} (t) - 1))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.1.6

Aplica la regla del producto a $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4^{3} {(\tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.1.7

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{64 {(\tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.1.8

Multiplica los exponentes en ${(\tan^{2} (t))}^{3}$ .

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Paso 3.1.8.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{64 {\tan (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.1.8.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{64 \tan^{6} (t)}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.1.9

Reescribe $64 \tan^{6} (t)$ como ${(8 \tan^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(8 \tan^{3} (t))}^{2}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.1.10

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{1}{8 \tan^{3} (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $2 \tan (t)$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $2 \tan (t)$ de $8 \tan^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $2 \tan (t)$ de $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Paso 3.2.1.3

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \tan (t) \sec (t)) d t$

Paso 3.2.1.4

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{4 \tan^{2} (t)} \sec (t) d t$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{1}{4 \tan^{2} (t)}$ y $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{4 \tan^{2} (t)} d t$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $\sec (x)$ como $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Paso 5.2

Aplica la identidad recíproca.

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Paso 5.3.2

Combinar.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Paso 5.3.3

Multiplica $\csc (t)$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Paso 5.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Paso 5.3.4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Paso 5.3.5

Combina $\cot (t)$ y $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Paso 5.3.6

Reduce la expresión $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.6.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Paso 5.3.6.2

Factoriza $\cot (t)$ de ${\cot (t)}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Paso 5.3.6.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Paso 5.3.6.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Paso 5.3.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

Paso 6

Como la derivada de $- \csc (t)$ es $\csc (t) \cot (t)$ , la integral de $\csc (t) \cot (t)$ es $- \csc (t)$ .

$\frac{1}{4} (- \csc (t) + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica.

$\frac{1}{4} (- \csc (t)) + C$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $\csc (t)$ .

$- \frac{\csc (t)}{4} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $t$ con $arcsec (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\csc (arcsec (\frac{x}{2}))}{4} + C$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $arcsec (\frac{x}{2})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ . Por lo tanto, $\csc (arcsec (\frac{x}{2}))$ es $\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ .

$- \frac{\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

Paso 9.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

Paso 9.1.3

Combinar.

$- \frac{\frac{x \cdot 1}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

Paso 9.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

Paso 9.1.5

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.5.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}}}{4} + C$

Paso 9.1.5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{x}{2}$ y $b = 1$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

Paso 9.1.5.3

Simplifica.

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Paso 9.1.5.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

Paso 9.1.5.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

Paso 9.1.5.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}}}{4} + C$

Paso 9.1.5.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}}}{4} + C$

Paso 9.1.5.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}}}{4} + C$

Paso 9.1.5.3.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}}}{4} + C$

Paso 9.1.5.4

Multiplica $\frac{x + 2}{2}$ por $\frac{x - 2}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}}}{4} + C$

Paso 9.1.5.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}}}{4} + C$

Paso 9.1.5.6

Reescribe $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Paso 9.1.5.6.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(x + 2) (x - 2)$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}}}{4} + C$

Paso 9.1.5.6.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}}}{4} + C$

Paso 9.1.5.6.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}}}{4} + C$

Paso 9.1.5.7

Retira los términos de abajo del radical.

$- \frac{\frac{x}{2 (\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)})}}{4} + C$

Paso 9.1.5.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

Paso 9.1.6

Combina $2$ y $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

Paso 9.1.7

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 9.1.7.1

Reduce la expresión $\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 9.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$- \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

Paso 9.1.7.1.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{\frac{x}{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{1}}}{4} + C$

Paso 9.1.7.2

Divide $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ por $1$ .

$- \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

Paso 9.1.8

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$- \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

Paso 9.1.9

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.1.9.1

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

Paso 9.1.9.2

Eleva $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

Paso 9.1.9.3

Eleva $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} {\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1}}}{4} + C$

Paso 9.1.9.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}}}{4} + C$

Paso 9.1.9.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}}}{4} + C$

Paso 9.1.9.6

Reescribe ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ como $(x + 2) (x - 2)$ .

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Paso 9.1.9.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ como ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{4} + C$

Paso 9.1.9.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{4} + C$

Paso 9.1.9.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{4} + C$

Paso 9.1.9.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1.9.6.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{4} + C$

Paso 9.1.9.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{1}}}{4} + C$

Paso 9.1.9.6.5

Simplifica.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}{4} + C$

Paso 9.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Paso 9.3

Multiplica $\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2) \cdot 4} + C$

Paso 9.4

Mueve $4$ a la izquierda de $(x + 2) (x - 2)$ .

$- \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4 (x + 2) (x - 2)} + C$