Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{4} - 1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 1

Divide $x^{4} - 1$ por $x^{2} + 1$ .

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{4} + 0 + x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Paso 1.6

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Paso 1.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Paso 1.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$x^{2}$
									-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
									-	$x^{2}$	+	$0$	-	$1$

Paso 1.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{2} + 0 - 1$ .

						$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$x^{2}$
									-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
									+	$x^{2}$	-	$0$	+	$1$

Paso 1.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$x^{2}$
									-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
									+	$x^{2}$	-	$0$	+	$1$
														$0$

Paso 1.11

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$\int x^{2} + 0 x - 1 d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{2} d x + \int 0 x d x + \int - 1 d x$

Paso 3

Multiplica $0$ por $x$ .

$\int x^{2} d x + \int 0 d x + \int - 1 d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int 0 d x + \int - 1 d x$

Paso 5

La integral de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 0 + C + \int - 1 d x$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 0 + C - x + C$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Suma $0$ y $C$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + C - x + C$

Paso 7.2

Simplifica.

$\frac{1}{3} x^{3} - x + C$