Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{3} - 4 x^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{3} - 4 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} - 4 x^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\int \frac{x^{2} x - 4 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 2.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} x + x^{2} \cdot - 4}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 2.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot - 4$ .

$\int \frac{x^{2} (x - 4)}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 2.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int x^{2} (x - 4) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 2.3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2}} x^{2} (x - 4) d x$

Paso 2.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{- \frac{1}{2} + 2} (x - 4) d x$

Paso 2.3.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} (x - 4) d x$

Paso 2.3.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} (x - 4) d x$

Paso 2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} (x - 4) d x$

Paso 2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int x^{\frac{- 1 + 4}{2}} (x - 4) d x$

Paso 2.3.6.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} (x - 4) d x$

Paso 3

Expande $x^{\frac{3}{2}} (x - 4)$ .

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{\frac{3}{2}} x + x^{\frac{3}{2}} \cdot - 4 d x$

Paso 3.2

Reordena $x^{\frac{3}{2}}$ y $- 4$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} x - 4 \cdot x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} x^{1} - 4 x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{\frac{3}{2} + 1} - 4 x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 3.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int x^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} - 4 x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x^{\frac{3 + 2}{2}} - 4 x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 3.7

Suma $3$ y $2$ .

$\int x^{\frac{5}{2}} - 4 x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{\frac{5}{2}} d x + \int - 4 x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C + \int - 4 x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 6

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 4 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 4 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica.

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} - 4 (\frac{2}{5}) x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Combina $- 4$ y $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + \frac{- 4 \cdot 2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 8.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + \frac{- 8}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 8.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$