Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Paso 1

Sea $x = 3 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 3 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ es positiva.

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.3

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $9$ de $9$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $9$ de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $9$ de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $9 \cos^{2} (t)$ como ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $3 \cos (t)$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\int {(3 \sin (t))}^{3} d t$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3 \sin (t)$ .

$\int {(3 (\sin (t)))}^{3} d t$

Paso 2.2.2.2

Aplica la regla del producto a $3 (\sin (t))$ .

$\int 3^{3} \sin^{3} (t) d t$

Paso 2.2.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\int 27 \sin^{3} (t) d t$

Paso 3

Dado que $27$ es constante con respecto a $t$ , mueve $27$ fuera de la integral.

$27 \int \sin^{3} (t) d t$

Paso 4

Factoriza $\sin^{2} (t)$ .

$27 \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Paso 5

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sin^{2} (t)$ como $1 - \cos^{2} (t)$ .

$27 \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Paso 6

Sea $u = \cos (t)$ . Entonces $d u = - \sin (t) d t$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = \cos (t)$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Paso 6.1.2

La derivada de $\cos (t)$ con respecto a $t$ es $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$27 \int - 1 + u^{2} d u$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$27 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$27 (- u + C + \int u^{2} d u)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$27 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$27 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Paso 10.2

Simplifica.

$27 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Paso 11

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 11.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (t)$ .

$27 (- \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t)) + C$

Paso 11.2

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$27 (- \cos (\arcsin (\frac{x}{3})) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $\arcsin (\frac{x}{3})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ . Por lo tanto, $\cos (\arcsin (\frac{x}{3}))$ es $\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}$ .

$27 (- \sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Paso 12.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$27 (- \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Paso 12.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{x}{3}$ .

$27 (- \sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Paso 12.1.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$27 (- \sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Paso 12.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$27 (- \sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Paso 12.1.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$27 (- \sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Paso 12.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$27 (- \sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Paso 12.1.8

Multiplica $\frac{3 + x}{3}$ por $\frac{3 - x}{3}$ .

$27 (- \sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Paso 12.1.9

Multiplica $3$ por $3$ .

$27 (- \sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Paso 12.1.10

Reescribe $\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

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Paso 12.1.10.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(3 + x) (3 - x)$ .

$27 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Paso 12.1.10.2

Factoriza la potencia perfecta $3^{2}$ de $9$ .

$27 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Paso 12.1.10.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$27 (- \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Paso 12.1.11

Retira los términos de abajo del radical.

$27 (- (\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Paso 12.1.12

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$27 (- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Paso 12.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))$ .

$27 (- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3}) + C$

Paso 12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$27 (- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}) + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Paso 12.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$ al numerador.

$27 \frac{- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Paso 12.4.2

Factoriza $3$ de $27$ .

$3 (9) \frac{- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Paso 12.4.3

Cancela el factor común.

$3 \cdot 9 \frac{- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Paso 12.4.4

Reescribe la expresión.

$9 (- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}) + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Paso 12.5

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Paso 12.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.6.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 3 (9) \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Paso 12.6.2

Cancela el factor común.

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 3 \cdot 9 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Paso 12.6.3

Reescribe la expresión.

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 9 \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3})) + C$

Paso 13

Reordena los términos.

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 9 \cos^{3} (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$