Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{3} + \sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{3} + x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\int \frac{x^{3} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{3} + x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{3}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Paso 2.1.2

Multiplica por $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Paso 2.1.3

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Paso 2.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Paso 2.3

Multiplica $x^{\frac{2}{3}}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}} d x$

Paso 2.3.2

Para escribir $\frac{2}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Paso 2.3.3

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}} d x$

Paso 2.3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.4.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}} d x$

Paso 2.3.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}} d x$

Paso 2.3.4.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}}} d x$

Paso 2.3.4.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}}} d x$

Paso 2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 3}{6}}} d x$

Paso 2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{4 - 3}{6}}} d x$

Paso 2.3.6.2

Resta $3$ de $4$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{6}}} d x$

Paso 3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $x^{\frac{1}{6}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (x^{\frac{5}{2}} + 1) {(x^{\frac{1}{6}})}^{- 1} d x$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{5}{2}} + 1) x^{\frac{1}{6} \cdot - 1} d x$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{1}{6}$ y $- 1$ .

$\int (x^{\frac{5}{2}} + 1) x^{\frac{- 1}{6}} d x$

Paso 3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int (x^{\frac{5}{2}} + 1) x^{- \frac{1}{6}} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Paso 4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{\frac{5}{2} - \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Paso 4.3

Para escribir $\frac{5}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Paso 4.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.4.1

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Paso 4.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\int x^{\frac{5 \cdot 3}{6} - \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x^{\frac{5 \cdot 3 - 1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $5$ por $3$ .

$\int x^{\frac{15 - 1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Paso 4.6.2

Resta $1$ de $15$ .

$\int x^{\frac{14}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Paso 4.7

Cancela el factor común de $14$ y $6$ .

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Paso 4.7.1

Factoriza $2$ de $14$ .

$\int x^{\frac{2 (7)}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Paso 4.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.7.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\int x^{\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 3}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Paso 4.7.2.2

Cancela el factor común.

$\int x^{\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 3}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Paso 4.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\int x^{\frac{7}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Paso 4.8

Multiplica $x^{- \frac{1}{6}}$ por $1$ .

$\int x^{\frac{7}{3}} + x^{- \frac{1}{6}} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{\frac{7}{3}} d x + \int x^{- \frac{1}{6}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{7}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}}$ .

$\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + C + \int x^{- \frac{1}{6}} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{6}}$ con respecto a $x$ es $\frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}$ .

$\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + C + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}} + C$

Paso 8

Simplifica.

$\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}} + C$