Cálculo Ejemplos

$\int 4^{- 4 x} d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = - 4 x$ . Entonces $d u_{1} = - 4 d x$ , de modo que $- \frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = - 4 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.1.2

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int - 4^{u_{1} - 1} d u_{1}$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int 4^{u_{1} - 1} d u_{1}$

Paso 3

Sea $u_{2} = u_{1} - 1$ . Entonces $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{2} = u_{1} - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $u_{1} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 1]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $u_{1} - 1$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Paso 3.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \int 4^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4

La integral de $4^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{4^{u_{2}}}{\ln (4)}$ .

$- (\frac{4^{u_{2}}}{\ln (4)} + C)$

Paso 5

Reescribe $- (\frac{4^{u_{2}}}{\ln (4)} + C)$ como $- \frac{1}{\ln (4)} \cdot 4^{u_{2}} + C$ .

$- \frac{1}{\ln (4)} \cdot 4^{u_{2}} + C$

Paso 6

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 6.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $u_{1} - 1$ .

$- \frac{1}{\ln (4)} \cdot 4^{u_{1} - 1} + C$

Paso 6.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- 4 x$ .

$- \frac{1}{\ln (4)} \cdot 4^{- 4 x - 1} + C$