Cálculo Ejemplos

$\int \frac{6 e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Paso 1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Paso 2

Sea $u = - \frac{1}{x}$ . Entonces $d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ , de modo que $x^{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = - \frac{1}{x}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.3.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica.

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Paso 2.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.3.2

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Paso 2.1.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.3.5.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Paso 2.1.3.5.2

Suma $x^{- 2}$ y $0$ .

$x^{- 2}$

Paso 2.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$6 \int e^{u} d u$

Paso 3

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$6 (e^{u} + C)$

Paso 4

Simplifica.

$6 e^{u} + C$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{1}{x}$ .

$6 e^{- \frac{1}{x}} + C$