Cálculo Ejemplos

$\int \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \cos^{2} (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Paso 2

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (x)$ como $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x) + \int \sin^{2} (x) d x$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x) + \int \sin^{2} (x) d x$

Paso 6

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 6.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) + \int \sin^{2} (x) d x$

Paso 7

Combina $\cos (u_{1})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int \sin^{2} (x) d x$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int \sin^{2} (x) d x$

Paso 9

La integral de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \int \sin^{2} (x) d x$

Paso 10

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (x)$ como $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Paso 12

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Paso 13

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Paso 14

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Paso 15

Sea $u_{2} = 2 x$ . Entonces $d u_{2} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 15.1

Deja $u_{2} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 15.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 15.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 15.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 15.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 15.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 16

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Paso 17

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Paso 18

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Paso 19

Simplifica.

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u_{1})) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 20

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 20.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 20.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Paso 21

Simplifica.

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Paso 21.1

Combina $\sin (2 x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + \frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Paso 21.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Paso 21.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Paso 21.4

Multiplica $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

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Paso 21.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Paso 21.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Paso 21.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Paso 21.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Paso 21.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Paso 21.8

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

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Paso 21.8.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Paso 21.8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Paso 22

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$