Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\arcsin (2 x)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \arcsin (2 x)$ . Entonces $d u_{2} = \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$ , de modo que $- d u_{2} = \frac{- 2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \arcsin (2 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\arcsin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (2 x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arcsin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\arcsin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.2.1

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (2^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (4 x^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3.2.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.4

Combina $2$ y $\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \cdot 1$

Paso 1.1.3.6

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ por $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{2} u_{2} d u_{2}$

Paso 2

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\arcsin (2 x)$ .

$\frac{1}{4} {\arcsin (2 x)}^{2} + C$