Cálculo Ejemplos

$\int 2^{\frac{- x}{2}} d x$

Paso 1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int 2^{- \frac{x}{2}} d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = - \frac{x}{2}$ . Entonces $d u_{1} = - \frac{1}{2} d x$ , de modo que $- 2 d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = - \frac{x}{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Paso 2.1.2

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int - 2^{u_{1}} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\int - 2^{u_{1}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Paso 3.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\int - 2^{u_{1}} \cdot (1 \cdot 2) d u_{1}$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\int - 2^{u_{1}} \cdot 2 d u_{1}$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int - 2 \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

Paso 3.5

Factoriza el negativo.

$\int - (2 \cdot 2^{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 3.6

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\int - (2^{1} \cdot 2^{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int - 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

Paso 5

Sea $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 5.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $1$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 5.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \int 2^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 6

La integral de $2^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)}$ .

$- (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$

Paso 7

Reescribe $- (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$ como $- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

Paso 8

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 8.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + u_{1}$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + u_{1}} + C$

Paso 8.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- \frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 - \frac{x}{2}} + C$

Paso 9

Combina $2^{1 - \frac{x}{2}}$ y $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$- \frac{2^{1 - \frac{x}{2}}}{\ln (2)} + C$

Paso 10

Reordena los términos.

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 - \frac{1}{2} x} + C$