Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x^{3} + x} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 1.1.1.1.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 (x) + 2}{x^{3} + x}$

Paso 1.1.1.1.1.2

Reescribe $- 5$ como $- 1$ más $- 4$

$\frac{2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2}{x^{3} + x}$

Paso 1.1.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2}{x^{3} + x}$

Paso 1.1.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 x^{2} - 1 x) - 4 x + 2}{x^{3} + x}$

Paso 1.1.1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1)}{x^{3} + x}$

Paso 1.1.1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x^{3} + x}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $x$ de $x^{3} + x$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x \cdot x^{2} + x}$

Paso 1.1.1.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

Paso 1.1.1.2.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Paso 1.1.1.2.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x (x^{2} + 1)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.1.4.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.4.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x - 1) (x - 2) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(2 x - 1) (x - 2) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.2

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ .

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Paso 1.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x - 1) (x - 2) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.2.2

Divide $(2 x - 1) (x - 2)$ por $1$ .

$(2 x - 1) (x - 2) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.5

Expande $(2 x - 1) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (x - 2) - 1 (x - 2) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 (x - 2) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.6.1.1.1

Mueve $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.6.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.6.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$2 x^{2} - 4 x - 1 x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.6.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$2 x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 x - x + 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.6.2

Resta $x$ de $- 4 x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.7.1.2

Divide $A (x^{2} + 1)$ por $1$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.7.3

Multiplica $A$ por $1$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.7.4

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ .

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Paso 1.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.7.4.2

Divide $(B x + C) (x)$ por $1$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

Paso 1.1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

Paso 1.1.7.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.7.6.1

Mueve $x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

Paso 1.1.7.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

Paso 1.1.8

Mueve $A$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$2 = A + B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 5 = C$

Paso 1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$2 = A$

Paso 1.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$2 = A + B$

$- 5 = C$

$2 = A$

$2 = A + B$

$- 5 = C$

$2 = A$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Reescribe la ecuación como $C = - 5$ .

$C = - 5$

$2 = A + B$

$2 = A$

Paso 1.3.2

Reescribe la ecuación como $A = 2$ .

$A = 2$

$C = - 5$

$2 = A + B$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $A$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.3.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $2 = A + B$ por $2$ .

$2 = (2) + B$

$A = 2$

$C = - 5$

Paso 1.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$2 = 2 + B$

$A = 2$

$C = - 5$

$2 = 2 + B$

$A = 2$

$C = - 5$

$2 = 2 + B$

$A = 2$

$C = - 5$

Paso 1.3.4

Resuelve $B$ en $2 = 2 + B$ .

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Paso 1.3.4.1

Reescribe la ecuación como $2 + B = 2$ .

$2 + B = 2$

$A = 2$

$C = - 5$

Paso 1.3.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 2 - 2$

$A = 2$

$C = - 5$

Paso 1.3.4.2.2

Resta $2$ de $2$ .

$B = 0$

$A = 2$

$C = - 5$

$B = 0$

$A = 2$

$C = - 5$

$B = 0$

$A = 2$

$C = - 5$

Paso 1.3.5

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = 0 A = 2 C = - 5$

Paso 1.3.6

Enumera todas las soluciones.

$B = 0, A = 2, C = - 5$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{2}{x} + \frac{0 x - 5}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{2}{x} + \frac{(0) \cdot x - 5}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $5$ de $0 \cdot x - 5$ .

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Paso 1.5.2.1.1

Factoriza $5$ de $0 \cdot x$ .

$\frac{2}{x} + \frac{5 (0 \cdot x) - 5}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5.2.1.2

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$\frac{2}{x} + \frac{5 (0 \cdot x) + 5 (- 1)}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5.2.1.3

Factoriza $5$ de $5 (0 \cdot x) + 5 (- 1)$ .

$\frac{2}{x} + \frac{5 (0 \cdot x - 1)}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5.2.2

Multiplica $0$ por $x$ .

$\frac{2}{x} + \frac{5 (0 - 1)}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5.2.3

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{2}{x} + \frac{5 \cdot - 1}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.5.3.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{2}{x} + \frac{- 5}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{2}{x} d x + \int - \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (\ln (| x |) + C) - \int \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Paso 6

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$2 (\ln (| x |) + C) - (5 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - 5 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 7.2

Reordena $x^{2}$ y $1$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - 5 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 7.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - 5 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x) + C$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - 5 (\arctan (x) + C)$

Paso 9

Simplifica.

$2 \ln (| x |) - 5 \arctan (x) + C$