Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{3 x - 3} d x$

Paso 1

Divide $2 x^{2} - 3 x + 1$ por $3 x - 3$ .

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 x$

$3$

$2 x^{2}$

$3 x$

$1$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

					$\frac{2 x}{3}$
	$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{2} - 2 x$ .

				$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$

Paso 1.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$

Paso 1.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

				$\frac{2 x}{3}$	-	$\frac{1}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$

Paso 1.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{2 x}{3}$	-	$\frac{1}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$
					-	$x$	+	$1$

Paso 1.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x + 1$ .

				$\frac{2 x}{3}$	-	$\frac{1}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$
					+	$x$	-	$1$

Paso 1.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{2 x}{3}$	-	$\frac{1}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$
					+	$x$	-	$1$
								$0$

Paso 1.11

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$\int \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{2 x}{3} d x + \int - \frac{1}{3} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} \int x d x + \int - \frac{1}{3} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{1}{3} d x$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{3} x + C$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

Paso 6.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{2}{6} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 6.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

Paso 6.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

Paso 6.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

Paso 6.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$