Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 x^{2} - 12 x + 4}{x^{3} - 4 x^{2}} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Factoriza la fracción.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} - 12 x + 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 12 x + 4}{x^{3} - 4 x^{2}}$

Paso 1.1.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 12 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 6 x) + 4}{x^{3} - 4 x^{2}}$

Paso 1.1.1.1.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 2}{x^{3} - 4 x^{2}}$

Paso 1.1.1.1.4

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 (- 6 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot 2}{x^{3} - 4 x^{2}}$

Paso 1.1.1.1.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2)}{x^{3} - 4 x^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} - 4 x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2)}{x^{2} x - 4 x^{2}}$

Paso 1.1.1.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2)}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 4}$

Paso 1.1.1.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot - 4$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2)}{x^{2} (x - 4)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 4}$

Paso 1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x^{2} (x - 4)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2) (x^{2} (x - 4))}{x^{2} (x - 4)} = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.4

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2) (x^{2} (x - 4))}{x^{2} (x - 4)} = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2) (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $x - 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2) (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.5.2

Divide $2 (x^{2} - 6 x + 2)$ por $1$ .

$2 (x^{2} - 6 x + 2) = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 2 = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.7.1

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$2 x^{2} - 12 x + 2 \cdot 2 = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.8

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.8.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.8.1.1

Cancela el factor común.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.8.1.2

Divide $A (x - 4)$ por $1$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A (x - 4) + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x + A \cdot - 4 + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.8.3

Mueve $- 4$ a la izquierda de $A$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.8.4

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.8.4.1

Factoriza $x$ de $B (x^{2} (x - 4))$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + \frac{x (B (x (x - 4)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.8.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.8.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + \frac{x (B (x (x - 4)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.8.4.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + \frac{x (B (x (x - 4)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.8.4.2.3

Cancela el factor común.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + \frac{x (B (x (x - 4)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.8.4.2.4

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + \frac{B (x (x - 4))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.8.4.2.5

Divide $B (x (x - 4))$ por $1$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B (x (x - 4)) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.8.5

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B (x \cdot x + x \cdot - 4) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.8.6

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B (x^{2} + x \cdot - 4) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.8.7

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B (x^{2} - 4 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.8.8

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B x^{2} + B (- 4 x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.8.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 B x + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.8.10

Cancela el factor común de $x - 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.8.10.1

Cancela el factor común.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 B x + \frac{C (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.8.10.2

Divide $(C) (x^{2})$ por $1$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 B x + (C) (x^{2})$

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 B x + C x^{2}$

Paso 1.1.9

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.9.1

Mueve $B$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 x B + C x^{2}$

Paso 1.1.9.2

Mueve $- 4 A$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x + B x^{2} - 4 x B + C x^{2} - 4 A$

Paso 1.1.9.3

Mueve $- 4 x B$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x + B x^{2} + C x^{2} - 4 x B - 4 A$

Paso 1.1.9.4

Mueve $A x$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = B x^{2} + C x^{2} + A x - 4 x B - 4 A$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$2 = B + C$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 12 = A - 4 B$

Paso 1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$4 = - 4 A$

Paso 1.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$4 = - 4 A$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$4 = - 4 A$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $4 = - 4 A$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $- 4 A = 4$ .

$- 4 A = 4$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

Paso 1.3.1.2

Divide cada término en $- 4 A = 4$ por $- 4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.2.1

Divide cada término en $- 4 A = 4$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{4}{- 4}$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

Paso 1.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{4}{- 4}$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

Paso 1.3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{4}{- 4}$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$A = \frac{4}{- 4}$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$A = \frac{4}{- 4}$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

Paso 1.3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.2.3.1

Divide $4$ por $- 4$ .

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- 1$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $- 12 = A - 4 B$ por $- 1$ .

$- 12 = (- 1) - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$- 12 = - 1 - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 12 = - 1 - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 12 = - 1 - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Paso 1.3.3

Resuelve $B$ en $- 12 = - 1 - 4 B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 1 - 4 B = - 12$ .

$- 1 - 4 B = - 12$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Paso 1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- 4 B = - 12 + 1$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Paso 1.3.3.2.2

Suma $- 12$ y $1$ .

$- 4 B = - 11$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 4 B = - 11$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Paso 1.3.3.3

Divide cada término en $- 4 B = - 11$ por $- 4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.3.1

Divide cada término en $- 4 B = - 11$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 11}{- 4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Paso 1.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 11}{- 4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Paso 1.3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 11}{- 4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$B = \frac{- 11}{- 4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$B = \frac{- 11}{- 4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Paso 1.3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{11}{4}$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $2 = B + C$ por $\frac{11}{4}$ .

$2 = (\frac{11}{4}) + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$2 = \frac{11}{4} + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$2 = \frac{11}{4} + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$2 = \frac{11}{4} + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Paso 1.3.5

Resuelve $C$ en $2 = \frac{11}{4} + C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{11}{4} + C = 2$ .

$\frac{11}{4} + C = 2$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Paso 1.3.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.2.1

Resta $\frac{11}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 2 - \frac{11}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Paso 1.3.5.2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$C = 2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{11}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Paso 1.3.5.2.3

Combina $2$ y $\frac{4}{4}$ .

$C = \frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{11}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Paso 1.3.5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$C = \frac{2 \cdot 4 - 11}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Paso 1.3.5.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.2.5.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$C = \frac{8 - 11}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Paso 1.3.5.2.5.2

Resta $11$ de $8$ .

$C = \frac{- 3}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$C = \frac{- 3}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Paso 1.3.5.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$C = - \frac{3}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Paso 1.3.6

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$C = - \frac{3}{4} B = \frac{11}{4} A = - 1$

Paso 1.3.7

Enumera todas las soluciones.

$C = - \frac{3}{4}, B = \frac{11}{4}, A = - 1$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 4}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{\frac{11}{4}}{x} + \frac{- \frac{3}{4}}{x - 4}$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{\frac{11}{4}}{x} + \frac{- \frac{3}{4}}{x - 4}$

Paso 1.5.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{11}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{3}{4}}{x - 4}$

Paso 1.5.3

Multiplica $\frac{11}{4}$ por $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{11}{4 x} + \frac{- \frac{3}{4}}{x - 4}$

Paso 1.5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{11}{4 x} - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x - 4}$

Paso 1.5.5

Multiplica $\frac{1}{x - 4}$ por $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{11}{4 x} - \frac{3}{(x - 4) \cdot 4}$

Paso 1.5.6

Mueve $4$ a la izquierda de $x - 4$ .

$\int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{11}{4 x} - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{11}{4 x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{11}{4 x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{11}{4 x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{11}{4 x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \int x^{- 2} d x + \int \frac{11}{4 x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$- (- x^{- 1} + C) + \int \frac{11}{4 x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{11}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{11}{4}$ fuera de la integral.

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{11}{4} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{11}{4} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{11}{4} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Paso 9

Dado que $\frac{3}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{3}{4}$ fuera de la integral.

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{11}{4} (\ln (| x |) + C) - (\frac{3}{4} \int \frac{1}{x - 4} d x)$

Paso 10

Sea $u = x - 4$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Deja $u = x - 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1

Diferencia $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 10.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 10.1.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 10.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{11}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 11

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{11}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{4} (\ln (| u |) + C)$

Paso 12

Simplifica.

$\frac{1}{x} + \frac{11 \ln (| x |)}{4} - \frac{3}{4} \ln (| u |) + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 4$ .

$\frac{1}{x} + \frac{11 \ln (| x |)}{4} - \frac{3}{4} \ln (| x - 4 |) + C$

Paso 14

Reordena los términos.

$\frac{1}{x} + \frac{11}{4} \ln (| x |) - \frac{3}{4} \ln (| x - 4 |) + C$