Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2}{\sqrt{7 - 6 x - x^{2}}} d x$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{7 - 6 x - x^{2}}} d x$

Paso 2

Reescribe $7$ como $16$ más $- 9$

$2 \int \frac{1}{\sqrt{16 - 9 - 6 x - x^{2}}} d x$

Paso 3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{16 - (3^{2} + 6 x + x^{2})}} d x$

Paso 3.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot 3 \cdot x$

Paso 3.3

Reescribe el polinomio.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{16 - (3^{2} + 2 \cdot 3 \cdot x + x^{2})}} d x$

Paso 3.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = 3$ y $b = x$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{16 - {(3 + x)}^{2}}} d x$

Paso 4

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - {(3 + x)}^{2}}} d x$

Paso 5

Sea $u = 3 + x$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 3 + x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $3 + x$ .

$\frac{d}{d x} [3 + x]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 5.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} d u$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}$ con respecto a $u$ es $\arcsin (\frac{u}{4})$ .

$2 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Paso 7

Reescribe $2 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$ como $2 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$ .

$2 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 + x$ .

$2 \arcsin (\frac{1}{4} (3 + x)) + C$