Cálculo Ejemplos

$\int \frac{3 u - 3}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} d u$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza $3$ de $3 u - 3$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $3$ de $3 u$ .

$\frac{3 (u) - 3}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (u) + 3 (- 1)}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $3$ de $3 (u) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (u - 1)}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A u + B}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}$

Paso 1.1.3

$\frac{A u + B}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{C u + D}{u^{2} - 2 u + 6}$

Paso 1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es ${(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}$ .

$\frac{3 (u - 1) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} = \frac{(A u + B) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(C u + D) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{u^{2} - 2 u + 6}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de ${(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (u - 1) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} = \frac{(A u + B) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(C u + D) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{u^{2} - 2 u + 6}$

Paso 1.1.5.2

Divide $3 (u - 1)$ por $1$ .

$3 (u - 1) = \frac{(A u + B) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(C u + D) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{u^{2} - 2 u + 6}$

Paso 1.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$3 u + 3 \cdot - 1 = \frac{(A u + B) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(C u + D) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{u^{2} - 2 u + 6}$

Paso 1.1.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 u - 3 = \frac{(A u + B) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(C u + D) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{u^{2} - 2 u + 6}$

Paso 1.1.8

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.8.1

Cancela el factor común de ${(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}$ .

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Paso 1.1.8.1.1

Cancela el factor común.

$3 u - 3 = \frac{(A u + B) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(C u + D) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{u^{2} - 2 u + 6}$

Paso 1.1.8.1.2

Divide $A u + B$ por $1$ .

$3 u - 3 = A u + B + \frac{(C u + D) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{u^{2} - 2 u + 6}$

Paso 1.1.8.2

Cancela el factor común de ${(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}$ y $u^{2} - 2 u + 6$ .

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Paso 1.1.8.2.1

Factoriza $u^{2} - 2 u + 6$ de $(C u + D) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}$ .

$3 u - 3 = A u + B + \frac{(u^{2} - 2 u + 6) ((C u + D) (u^{2} - 2 u + 6))}{u^{2} - 2 u + 6}$

Paso 1.1.8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.8.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$3 u - 3 = A u + B + \frac{(u^{2} - 2 u + 6) ((C u + D) (u^{2} - 2 u + 6))}{(u^{2} - 2 u + 6) \cdot 1}$

Paso 1.1.8.2.2.2

Cancela el factor común.

$3 u - 3 = A u + B + \frac{(u^{2} - 2 u + 6) ((C u + D) (u^{2} - 2 u + 6))}{(u^{2} - 2 u + 6) \cdot 1}$

Paso 1.1.8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$3 u - 3 = A u + B + \frac{(C u + D) (u^{2} - 2 u + 6)}{1}$

Paso 1.1.8.2.2.4

Divide $(C u + D) (u^{2} - 2 u + 6)$ por $1$ .

$3 u - 3 = A u + B + (C u + D) (u^{2} - 2 u + 6)$

Paso 1.1.8.3

Expande $(C u + D) (u^{2} - 2 u + 6)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$3 u - 3 = A u + B + C u \cdot u^{2} + C u (- 2 u) + C u \cdot 6 + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

Paso 1.1.8.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.8.4.1

Multiplica $u$ por $u^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.8.4.1.1

Mueve $u^{2}$ .

$3 u - 3 = A u + B + C (u^{2} u) + C u (- 2 u) + C u \cdot 6 + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

Paso 1.1.8.4.1.2

Multiplica $u^{2}$ por $u$ .

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Paso 1.1.8.4.1.2.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$3 u - 3 = A u + B + C (u^{2} u) + C u (- 2 u) + C u \cdot 6 + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

Paso 1.1.8.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 u - 3 = A u + B + C u^{2 + 1} + C u (- 2 u) + C u \cdot 6 + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

Paso 1.1.8.4.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$3 u - 3 = A u + B + C u^{3} + C u (- 2 u) + C u \cdot 6 + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

Paso 1.1.8.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 u - 3 = A u + B + C u^{3} - 2 C u \cdot u + C u \cdot 6 + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

Paso 1.1.8.4.3

Multiplica $u$ por $u$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.8.4.3.1

Mueve $u$ .

$3 u - 3 = A u + B + C u^{3} - 2 C (u \cdot u) + C u \cdot 6 + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

Paso 1.1.8.4.3.2

Multiplica $u$ por $u$ .

$3 u - 3 = A u + B + C u^{3} - 2 C u^{2} + C u \cdot 6 + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

Paso 1.1.8.4.4

Mueve $6$ a la izquierda de $C u$ .

$3 u - 3 = A u + B + C u^{3} - 2 C u^{2} + 6 \cdot (C u) + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

Paso 1.1.8.4.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 u - 3 = A u + B + C u^{3} - 2 C u^{2} + 6 C u + D u^{2} - 2 D u + D \cdot 6$

Paso 1.1.8.4.6

Mueve $6$ a la izquierda de $D$ .

$3 u - 3 = A u + B + C u^{3} - 2 C u^{2} + 6 C u + D u^{2} - 2 D u + 6 D$

Paso 1.1.9

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.9.1

Mueve $B$ .

$3 u - 3 = A u + C u^{3} - 2 C u^{2} + 6 C u + D u^{2} - 2 D u + B + 6 D$

Paso 1.1.9.2

Mueve $6 C u$ .

$3 u - 3 = A u + C u^{3} - 2 C u^{2} + D u^{2} + 6 C u - 2 D u + B + 6 D$

Paso 1.1.9.3

Mueve $A u$ .

$3 u - 3 = C u^{3} - 2 C u^{2} + D u^{2} + A u + 6 C u - 2 D u + B + 6 D$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $u^{3}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = C$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $u^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = - 2 C + D$

Paso 1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $u$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$3 = A + 6 C - 2 D$

Paso 1.2.4

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $u$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 3 = B + 6 D$

Paso 1.2.5

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = C$

$0 = - 2 C + D$

$3 = A + 6 C - 2 D$

$- 3 = B + 6 D$

$0 = C$

$0 = - 2 C + D$

$3 = A + 6 C - 2 D$

$- 3 = B + 6 D$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Reescribe la ecuación como $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = - 2 C + D$

$3 = A + 6 C - 2 D$

$- 3 = B + 6 D$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $C$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $0 = - 2 C + D$ por $0$ .

$0 = - 2 \cdot 0 + D$

$C = 0$

$3 = A + 6 C - 2 D$

$- 3 = B + 6 D$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Simplifica $- 2 \cdot 0 + D$ .

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Paso 1.3.2.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$0 = 0 + D$

$C = 0$

$3 = A + 6 C - 2 D$

$- 3 = B + 6 D$

Paso 1.3.2.2.1.2

Suma $0$ y $D$ .

$0 = D$

$C = 0$

$3 = A + 6 C - 2 D$

$- 3 = B + 6 D$

$0 = D$

$C = 0$

$3 = A + 6 C - 2 D$

$- 3 = B + 6 D$

$0 = D$

$C = 0$

$3 = A + 6 C - 2 D$

$- 3 = B + 6 D$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $C$ en $3 = A + 6 C - 2 D$ por $0$ .

$3 = A + 6 (0) - 2 D$

$0 = D$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

Paso 1.3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.4.1

Simplifica $A + 6 (0) - 2 D$ .

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Paso 1.3.2.4.1.1

Multiplica $6$ por $0$ .

$3 = A + 0 - 2 D$

$0 = D$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

Paso 1.3.2.4.1.2

Suma $A$ y $0$ .

$3 = A - 2 D$

$0 = D$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

$3 = A - 2 D$

$0 = D$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

$3 = A - 2 D$

$0 = D$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

$3 = A - 2 D$

$0 = D$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

Paso 1.3.3

Reescribe la ecuación como $D = 0$ .

$D = 0$

$3 = A - 2 D$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $D$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $D$ en $3 = A - 2 D$ por $0$ .

$3 = A - 2 \cdot 0$

$D = 0$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.2.1

Simplifica $A - 2 \cdot 0$ .

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Paso 1.3.4.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$3 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

Paso 1.3.4.2.1.2

Suma $A$ y $0$ .

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

Paso 1.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $D$ en $- 3 = B + 6 D$ por $0$ .

$- 3 = B + 6 (0)$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

Paso 1.3.4.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.4.1

Simplifica $B + 6 (0)$ .

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Paso 1.3.4.4.1.1

Multiplica $6$ por $0$ .

$- 3 = B + 0$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

Paso 1.3.4.4.1.2

Suma $B$ y $0$ .

$- 3 = B$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$- 3 = B$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$- 3 = B$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$- 3 = B$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

Paso 1.3.5

Reescribe la ecuación como $B = - 3$ .

$B = - 3$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

Paso 1.3.6

Reescribe la ecuación como $A = 3$ .

$A = 3$

$B = - 3$

$D = 0$

$C = 0$

Paso 1.3.7

Enumera todas las soluciones.

$A = 3, B = - 3, D = 0, C = 0$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A u + B}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{C u + D}{u^{2} - 2 u + 6}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ , $C$ y $D$ .

$\frac{3 u - 3}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{0 u + 0}{u^{2} - 2 u + 6}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Factoriza $3$ de $3 \cdot u - 3$ .

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Paso 1.5.1.1

Factoriza $3$ de $3 \cdot u$ .

$\frac{3 (u) - 3}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(0) \cdot u + 0}{u^{2} - 2 u + 6}$

Paso 1.5.1.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (u) + 3 (- 1)}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(0) \cdot u + 0}{u^{2} - 2 u + 6}$

Paso 1.5.1.3

Factoriza $3$ de $3 (u) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (u - 1)}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(0) \cdot u + 0}{u^{2} - 2 u + 6}$

Paso 1.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.2.1

Multiplica $0$ por $u$ .

$\frac{3 (u - 1)}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{0 + 0}{u^{2} - 2 u + 6}$

Paso 1.5.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{3 (u - 1)}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{0}{u^{2} - 2 u + 6}$

Paso 1.5.3

Divide $0$ por $u^{2} - 2 u + 6$ .

$\frac{3 (u - 1)}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + 0$

Paso 1.5.4

Elimina el cero de la expresión.

$\int \frac{3 (u - 1)}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} d u$

Paso 2

Dado que $3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{u - 1}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} d u$

Paso 3

Sea $u_{1} = u^{2} - 2 u + 6$ . Entonces $d u_{1} = (2 u - 2) d u$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = (u - 1) d u$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{1} = u^{2} - 2 u + 6$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $u^{2} - 2 u + 6$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2} - 2 u + 6]$

Paso 3.1.2

Diferencia.

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Paso 3.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $u^{2} - 2 u + 6$ con respecto a $u$ es $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 2 u] + \frac{d}{d u} [6]$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 2 u] + \frac{d}{d u} [6]$

Paso 3.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u + \frac{d}{d u} [- 2 u] + \frac{d}{d u} [6]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u} [- 2 u]$ .

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Paso 3.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $- 2 u$ con respecto a $u$ es $- 2 \frac{d}{d u} [u]$ .

$2 u - 2 \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [6]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 u - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d u} [6]$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$2 u - 2 + \frac{d}{d u} [6]$

Paso 3.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1.4.1

Como $6$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $6$ con respecto a $u$ es $0$ .

$2 u - 2 + 0$

Paso 3.1.4.2

Suma $2 u - 2$ y $0$ .

$2 u - 2$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2} \cdot 2} d u_{1}$

Paso 4.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${u_{1}}^{2}$ .

$3 \int \frac{1}{2 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1})$

Paso 6

Combina fracciones.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 6.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve ${u_{1}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1}$

Paso 6.2.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1}$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{- 2}$ con respecto a $u_{1}$ es $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$\frac{3}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe $\frac{3}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C)$ como $\frac{3}{2} (- \frac{1}{u_{1}}) + C$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{1}{u_{1}}) + C$

Paso 8.2

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{u_{1}}$ .

$- \frac{3}{2 u_{1}} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $u^{2} - 2 u + 6$ .

$- \frac{3}{2 (u^{2} - 2 u + 6)} + C$