Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 x - 1}{x (x - 1)} d x$

Paso 1

Sea $u = x (x - 1)$ . Entonces $d u = (2 x - 1) d x$ , de modo que $\frac{1}{2 x - 1} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x (x - 1)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [x (x - 1)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x - 1$ .

$x \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$x \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x + (x - 1) \cdot 1$

Paso 1.1.3.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.1.3.6.1

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$x + x - 1$

Paso 1.1.3.6.2

Suma $x$ y $x$ .

$2 x - 1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Paso 2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x (x - 1)$ .

$\ln (| x (x - 1) |) + C$