Cálculo Ejemplos

$\int \frac{3 x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Paso 2

Sea $x = 5 \sec (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ es positiva.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $5 \sec (t)$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.1.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.1.2

Factoriza $25$ de $25 \sec^{2} (t)$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.1.3

Factoriza $25$ de $- 25$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.1.4

Factoriza $25$ de $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.1.6

Reescribe $25 \tan^{2} (t)$ como ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{5 \tan (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $5 \tan (t)$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $5 \tan (t)$ de $5 \sec (t) \tan (t)$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Paso 3.2.1.2

Cancela el factor común.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) \sec (t)) d t$

Paso 3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$3 \int {(5 \sec (t))}^{3} \sec (t) d t$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $5$ de $5 \sec (t)$ .

$3 \int {(5 (\sec (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Paso 3.2.2.2

Aplica la regla del producto a $5 (\sec (t))$ .

$3 \int 5^{3} \sec^{3} (t) \sec (t) d t$

Paso 3.2.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$3 \int 125 \sec^{3} (t) \sec (t) d t$

Paso 3.2.2.4

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$3 \int 125 (\sec^{1} (t) \sec^{3} (t)) d t$

Paso 3.2.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 \int 125 {\sec (t)}^{1 + 3} d t$

Paso 3.2.2.6

Suma $1$ y $3$ .

$3 \int 125 \sec^{4} (t) d t$

Paso 4

Dado que $125$ es constante con respecto a $t$ , mueve $125$ fuera de la integral.

$3 (125 \int \sec^{4} (t) d t)$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Multiplica $125$ por $3$ .

$375 \int \sec^{4} (t) d t$

Paso 5.2

Reescribe $4$ como $2$ más $2$

$375 \int {\sec (t)}^{2 + 2} d t$

Paso 5.3

Reescribe ${\sec (t)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$375 \int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) d t$

Paso 6

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sec^{2} (t)$ como $1 + \tan^{2} (t)$ .

$375 \int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) d t$

Paso 7

Sea $u = \tan (t)$ . Entonces $d u = \sec^{2} (t) d t$ , de modo que $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = \tan (t)$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Paso 7.1.2

La derivada de $\tan (t)$ con respecto a $t$ es $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$375 \int 1 + u^{2} d u$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$375 (\int d u + \int u^{2} d u)$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$375 (u + C + \int u^{2} d u)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$375 (u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$375 (u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Paso 11.2

Simplifica.

$375 (u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Paso 12

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 12.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (t)$ .

$375 (\tan (t) + \frac{1}{3} \tan^{3} (t)) + C$

Paso 12.2

Reemplaza todos los casos de $t$ con $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$375 (\tan (arcsec (\frac{x}{5})) + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $arcsec (\frac{x}{5})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ . Por lo tanto, $\tan (arcsec (\frac{x}{5}))$ es $\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1}$ .

$375 (\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Paso 13.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$375 (\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Paso 13.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{x}{5}$ y $b = 1$ .

$375 (\sqrt{(\frac{x}{5} + 1) (\frac{x}{5} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Paso 13.1.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$375 (\sqrt{(\frac{x}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x}{5} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Paso 13.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Paso 13.1.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Paso 13.1.7

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Paso 13.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Paso 13.1.9

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 5}{5}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Paso 13.1.10

Multiplica $\frac{x + 5}{5}$ por $\frac{x - 5}{5}$ .

$375 (\sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{5 \cdot 5}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Paso 13.1.11

Multiplica $5$ por $5$ .

$375 (\sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Paso 13.1.12

Reescribe $\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}$ como ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ .

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Paso 13.1.12.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(x + 5) (x - 5)$ .

$375 (\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{25}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Paso 13.1.12.2

Factoriza la potencia perfecta $5^{2}$ de $25$ .

$375 (\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Paso 13.1.12.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$375 (\sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Paso 13.1.13

Retira los términos de abajo del radical.

$375 (\frac{1}{5} \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Paso 13.1.14

Combina $\frac{1}{5}$ y $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$375 (\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Paso 13.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))$ .

$375 (\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3}) + C$

Paso 13.3

Aplica la propiedad distributiva.

$375 \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Paso 13.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 13.4.1

Factoriza $5$ de $375$ .

$5 (75) \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Paso 13.4.2

Cancela el factor común.

$5 \cdot 75 \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Paso 13.4.3

Reescribe la expresión.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Paso 13.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.5.1

Factoriza $3$ de $375$ .

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 3 (125) \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Paso 13.5.2

Cancela el factor común.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 3 \cdot 125 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Paso 13.5.3

Reescribe la expresión.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 125 \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5})) + C$

Paso 14

Reordena los términos.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 125 \tan^{3} (arcsec (\frac{1}{5} x)) + C$