Cálculo Ejemplos

$\int \frac{3 x^{2} - 11}{x^{4} - 1} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1.1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{{(x^{2})}^{2} - 1}$

Paso 1.1.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{{(x^{2})}^{2} - 1^{2}}$

Paso 1.1.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)}$

Paso 1.1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.1.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})}$

Paso 1.1.1.4.2

Factoriza.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))}$

Paso 1.1.1.4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{3 x^{2} - 11}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A x + B}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.3

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $C$ .

$\frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Paso 1.1.4

$\frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x - 1}$

Paso 1.1.5

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(3 x^{2} - 11) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ .

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

Paso 1.1.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{((3 x^{2} - 11) (x + 1)) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(3 x^{2} - 11) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.8

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.1.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 x^{2} - 11) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.8.2

Divide $3 x^{2} - 11$ por $1$ .

$3 x^{2} - 11 = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.9.1

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ .

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Paso 1.1.9.1.1

Cancela el factor común.

$3 x^{2} - 11 = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.1.2

Divide $((A x + B) (x + 1)) (x - 1)$ por $1$ .

$3 x^{2} - 11 = ((A x + B) (x + 1)) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.2

Expande $(A x + B) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.9.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 11 = (A x (x + 1) + B (x + 1)) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 11 = (A x \cdot x + A x \cdot 1 + B (x + 1)) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 11 = (A x \cdot x + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.9.3.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.9.3.1.1

Mueve $x$ .

$3 x^{2} - 11 = (A (x \cdot x) + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 x^{2} - 11 = (A x^{2} + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.3.2

Multiplica $A$ por $1$ .

$3 x^{2} - 11 = (A x^{2} + A x + B x + B \cdot 1) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.3.3

Multiplica $B$ por $1$ .

$3 x^{2} - 11 = (A x^{2} + A x + B x + B) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.4

Expande $(A x^{2} + A x + B x + B) (x - 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$3 x^{2} - 11 = A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + B x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.5

Combina los términos opuestos en $A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + B x + B \cdot - 1$ .

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Paso 1.1.9.5.1

Reordena los factores en los términos $B x \cdot - 1$ y $B x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x - B x + B x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.5.2

Suma $- B x$ y $B x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + 0 + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.5.3

Suma $A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x$ y $0$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.9.6.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.9.6.1.1

Mueve $x$ .

$3 x^{2} - 11 = A (x \cdot x^{2}) + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.6.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.9.6.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

Paso 1.1.9.6.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x^{2} - 11 = A x^{1 + 2} + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.6.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A x^{2}$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - 1 \cdot (A x^{2}) + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.6.3

Reescribe $- 1 (A x^{2})$ como $- (A x^{2})$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - (A x^{2}) + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.6.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.9.6.4.1

Mueve $x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x^{2} + A (x \cdot x) + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.6.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.6.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - 1 \cdot (A x) + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.6.6

Reescribe $- 1 (A x)$ como $- (A x)$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - (A x) + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.6.7

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.9.6.7.1

Mueve $x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B (x \cdot x) + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.6.7.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B x^{2} + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.6.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $B$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B x^{2} - 1 \cdot B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.6.9

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B x^{2} - B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.7

Combina los términos opuestos en $A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B x^{2} - B$ .

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Paso 1.1.9.7.1

Suma $- A x^{2}$ y $A x^{2}$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} + 0 - A x + B x^{2} - B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.7.2

Suma $A x^{3}$ y $0$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.8

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.1.9.8.1

Cancela el factor común.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.8.2

Divide $(C) (x^{2} + 1) (x - 1)$ por $1$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + (C) (x^{2} + 1) (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.9

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + (C x^{2} + C \cdot 1) (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.10

Multiplica $C$ por $1$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + (C x^{2} + C) (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.11

Expande $(C x^{2} + C) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.9.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{2} (x - 1) + C (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 1 + C (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.12

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.9.12.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.9.12.1.1

Mueve $x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C (x \cdot x^{2}) + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.12.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.9.12.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C (x \cdot x^{2}) + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.12.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{1 + 2} + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.12.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.12.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $C x^{2}$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - 1 \cdot (C x^{2}) + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.12.3

Reescribe $- 1 (C x^{2})$ como $- (C x^{2})$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - (C x^{2}) + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.12.4

Mueve $- 1$ a la izquierda de $C$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - 1 \cdot C + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.12.5

Reescribe $- 1 C$ como $- C$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.13

Cancela el factor común de $x - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.9.13.1

Cancela el factor común.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.9.13.2

Divide $(D) (x^{2} + 1) (x + 1)$ por $1$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + (D) (x^{2} + 1) (x + 1)$

Paso 1.1.9.14

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + (D x^{2} + D \cdot 1) (x + 1)$

Paso 1.1.9.15

Multiplica $D$ por $1$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + (D x^{2} + D) (x + 1)$

Paso 1.1.9.16

Expande $(D x^{2} + D) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.9.16.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{2} (x + 1) + D (x + 1)$

Paso 1.1.9.16.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{2} x + D x^{2} \cdot 1 + D (x + 1)$

Paso 1.1.9.16.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{2} x + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Paso 1.1.9.17

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.9.17.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.9.17.1.1

Mueve $x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D (x \cdot x^{2}) + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Paso 1.1.9.17.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.9.17.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D (x \cdot x^{2}) + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Paso 1.1.9.17.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{1 + 2} + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Paso 1.1.9.17.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Paso 1.1.9.17.2

Multiplica $D$ por $1$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} + D x + D \cdot 1$

Paso 1.1.9.17.3

Multiplica $D$ por $1$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} + D x + D$

Paso 1.1.10

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.10.1

Mueve $A$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} + D x + D$

Paso 1.1.10.2

Reordena $B$ y $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} + D x + D$

Paso 1.1.10.3

Mueve $- C$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x + D x^{3} + D x^{2} + D x - C + D$

Paso 1.1.10.4

Mueve $- B$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} + C x^{3} - C x^{2} + C x + D x^{3} + D x^{2} + D x - B - C + D$

Paso 1.1.10.5

Mueve $C x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} + C x^{3} - C x^{2} + D x^{3} + D x^{2} + C x + D x - B - C + D$

Paso 1.1.10.6

Mueve $- 1 x A$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} + B x^{2} + C x^{3} - C x^{2} + D x^{3} + D x^{2} - 1 x A + C x + D x - B - C + D$

Paso 1.1.10.7

Mueve $- C x^{2}$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} + B x^{2} + C x^{3} + D x^{3} - C x^{2} + D x^{2} - 1 x A + C x + D x - B - C + D$

Paso 1.1.10.8

Mueve $B x^{2}$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} + C x^{3} + D x^{3} + B x^{2} - C x^{2} + D x^{2} - 1 x A + C x + D x - B - C + D$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{3}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + C + D$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$3 = B - 1 C + D$

Paso 1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = - 1 A + C + D$

Paso 1.2.4

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.2.5

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + C + D$

$3 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = A + C + D$

$3 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $0 = A + C + D$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + C + D = 0$ .

$A + C + D = 0$

$3 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1.2.1

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$A + D = - C$

$3 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.1.2.2

Resta $D$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- C - D$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = - 1 A + C + D$ por $- C - D$ .

$0 = - 1 (- C - D) + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1

Simplifica $- 1 (- C - D) + C + D$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 = - 1 (- C) - 1 (- D) + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.2.2.1.1.2

Multiplica $- 1 (- C)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 = 1 C - 1 (- D) + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.2.2.1.1.2.2

Multiplica $C$ por $1$ .

$0 = C - 1 (- D) + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = C - 1 (- D) + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1 (- D)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 = C + 1 D + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.2.2.1.1.3.2

Multiplica $D$ por $1$ .

$0 = C + D + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = C + D + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = C + D + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.2.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.3.2.2.1.2.1

Suma $C$ y $C$ .

$0 = 2 C + D + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.2.2.1.2.2

Suma $D$ y $D$ .

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.3

Resuelve $C$ en $0 = 2 C + 2 D$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $2 C + 2 D = 0$ .

$2 C + 2 D = 0$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.3.2

Resta $2 D$ de ambos lados de la ecuación.

$2 C = - 2 D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.3.3

Divide cada término en $2 C = - 2 D$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.3.1

Divide cada término en $2 C = - 2 D$ por $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.3.3.2.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$C = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$C = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.3.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 D$ .

$C = \frac{2 (- D)}{2}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$C = \frac{2 (- D)}{2 (1)}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$C = \frac{2 (- D)}{2 \cdot 1}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$C = \frac{- D}{1}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.3.3.3.1.2.4

Divide $- D$ por $1$ .

$C = - D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $C$ por $- D$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $A = - C - D$ por $- D$ .

$A = - (- D) - D$

$C = - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.2.1

Simplifica $- (- D) - D$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.2.1.1

Multiplica $- (- D)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$A = 1 D - D$

$C = - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.4.2.1.1.2

Multiplica $D$ por $1$ .

$A = D - D$

$C = - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$A = D - D$

$C = - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.4.2.1.2

Resta $D$ de $D$ .

$A = 0$

$C = - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$A = 0$

$C = - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$A = 0$

$C = - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $C$ en $3 = B - 1 C + D$ por $- D$ .

$3 = B - 1 (- D) + D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.4.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.4.1

Simplifica $B - 1 (- D) + D$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.4.1.1

Multiplica $- 1 (- D)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.4.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$3 = B + 1 D + D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.4.4.1.1.2

Multiplica $D$ por $1$ .

$3 = B + D + D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$3 = B + D + D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.4.4.1.2

Suma $D$ y $D$ .

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Paso 1.3.4.5

Reemplaza todos los casos de $C$ en $- 11 = - 1 B - 1 C + D$ por $- D$ .

$- 11 = - 1 B - 1 (- D) + D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Paso 1.3.4.6

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.6.1

Simplifica $- 1 B - 1 (- D) + D$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.6.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.6.1.1.1

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$- 11 = - B - 1 (- D) + D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Paso 1.3.4.6.1.1.2

Multiplica $- 1 (- D)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.6.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 11 = - B + 1 D + D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Paso 1.3.4.6.1.1.2.2

Multiplica $D$ por $1$ .

$- 11 = - B + D + D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - B + D + D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - B + D + D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Paso 1.3.4.6.1.2

Suma $D$ y $D$ .

$- 11 = - B + 2 D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - B + 2 D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - B + 2 D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - B + 2 D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Paso 1.3.5

Resuelve $B$ en $3 = B + 2 D$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.1

Reescribe la ecuación como $B + 2 D = 3$ .

$B + 2 D = 3$

$- 11 = - B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Paso 1.3.5.2

Resta $2 D$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 3 - 2 D$

$- 11 = - B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$B = 3 - 2 D$

$- 11 = - B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Paso 1.3.6

Reemplaza todos los casos de $B$ por $3 - 2 D$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.6.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $- 11 = - B + 2 D$ por $3 - 2 D$ .

$- 11 = - (3 - 2 D) + 2 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Paso 1.3.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.6.2.1

Simplifica $- (3 - 2 D) + 2 D$ .

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Paso 1.3.6.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.6.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 11 = - 1 \cdot 3 - (- 2 D) + 2 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Paso 1.3.6.2.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 11 = - 3 - (- 2 D) + 2 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Paso 1.3.6.2.1.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$- 11 = - 3 + 2 D + 2 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 3 + 2 D + 2 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Paso 1.3.6.2.1.2

Suma $2 D$ y $2 D$ .

$- 11 = - 3 + 4 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 3 + 4 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 3 + 4 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 3 + 4 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Paso 1.3.7

Resuelve $D$ en $- 11 = - 3 + 4 D$ .

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Paso 1.3.7.1

Reescribe la ecuación como $- 3 + 4 D = - 11$ .

$- 3 + 4 D = - 11$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Paso 1.3.7.2

Mueve todos los términos que no contengan $D$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.7.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$4 D = - 11 + 3$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Paso 1.3.7.2.2

Suma $- 11$ y $3$ .

$4 D = - 8$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$4 D = - 8$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Paso 1.3.7.3

Divide cada término en $4 D = - 8$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.3.7.3.1

Divide cada término en $4 D = - 8$ por $4$ .

$\frac{4 D}{4} = \frac{- 8}{4}$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Paso 1.3.7.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.7.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.3.7.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 D}{4} = \frac{- 8}{4}$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Paso 1.3.7.3.2.1.2

Divide $D$ por $1$ .

$D = \frac{- 8}{4}$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = \frac{- 8}{4}$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = \frac{- 8}{4}$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Paso 1.3.7.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.7.3.3.1

Divide $- 8$ por $4$ .

$D = - 2$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = - 2$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = - 2$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = - 2$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Paso 1.3.8

Reemplaza todos los casos de $D$ por $- 2$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.8.1

Reemplaza todos los casos de $D$ en $B = 3 - 2 D$ por $- 2$ .

$B = 3 - 2 \cdot - 2$

$D = - 2$

$A = 0$

$C = - D$

Paso 1.3.8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.8.2.1

Simplifica $3 - 2 \cdot - 2$ .

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Paso 1.3.8.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$B = 3 + 4$

$D = - 2$

$A = 0$

$C = - D$

Paso 1.3.8.2.1.2

Suma $3$ y $4$ .

$B = 7$

$D = - 2$

$A = 0$

$C = - D$

$B = 7$

$D = - 2$

$A = 0$

$C = - D$

$B = 7$

$D = - 2$

$A = 0$

$C = - D$

Paso 1.3.8.3

Reemplaza todos los casos de $D$ en $C = - D$ por $- 2$ .

$C = - (- 2)$

$B = 7$

$D = - 2$

$A = 0$

Paso 1.3.8.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.8.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$C = 2$

$B = 7$

$D = - 2$

$A = 0$

$C = 2$

$B = 7$

$D = - 2$

$A = 0$

$C = 2$

$B = 7$

$D = - 2$

$A = 0$

Paso 1.3.9

Enumera todas las soluciones.

$C = 2, B = 7, D = - 2, A = 0$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ , $C$ y $D$ .

$\frac{0 x + 7}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{- 2}{x - 1}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1.1

Factoriza $7$ de $0 \cdot x + 7$ .

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Paso 1.5.1.1.1

Factoriza $7$ de $0 \cdot x$ .

$\frac{7 (0 \cdot x) + 7}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{- 2}{x - 1}$

Paso 1.5.1.1.2

Factoriza $7$ de $7$ .

$\frac{7 (0 \cdot x) + 7 (1)}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{- 2}{x - 1}$

Paso 1.5.1.1.3

Factoriza $7$ de $7 (0 \cdot x) + 7 (1)$ .

$\frac{7 (0 \cdot x + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{- 2}{x - 1}$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $0$ por $x$ .

$\frac{7 (0 + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{- 2}{x - 1}$

Paso 1.5.1.3

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{7 \cdot 1}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{- 2}{x - 1}$

Paso 1.5.2

Multiplica $7$ por $1$ .

$\frac{7}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{- 2}{x - 1}$

Paso 1.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{7}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x - 1} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{7}{x^{2} + 1} d x + \int \frac{2}{x + 1} d x + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Paso 3

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$7 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x + \int \frac{2}{x + 1} d x + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Reordena $x^{2}$ y $1$ .

$7 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x + \int \frac{2}{x + 1} d x + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Paso 4.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$7 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + \int \frac{2}{x + 1} d x + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x) + C$ .

$7 (\arctan (x) + C) + \int \frac{2}{x + 1} d x + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$7 (\arctan (x) + C) + 2 \int \frac{1}{x + 1} d x + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Paso 7

Sea $u_{1} = x + 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{1} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 7.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$7 (\arctan (x) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$7 (\arctan (x) + C) + 2 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$7 (\arctan (x) + C) + 2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{2}{x - 1} d x$

Paso 10

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$7 (\arctan (x) + C) + 2 (\ln (| u_{1} |) + C) - (2 \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Paso 11

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$7 (\arctan (x) + C) + 2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 2 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 12

Sea $u_{2} = x - 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 12.1

Deja $u_{2} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 12.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 12.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 12.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 12.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 12.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 12.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$7 (\arctan (x) + C) + 2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 13

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$7 (\arctan (x) + C) + 2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 14

Simplifica.

$7 \arctan (x) + 2 \ln (| u_{1} |) - 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 15

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 15.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 1$ .

$7 \arctan (x) + 2 \ln (| x + 1 |) - 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 15.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 1$ .

$7 \arctan (x) + 2 \ln (| x + 1 |) - 2 \ln (| x - 1 |) + C$