Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

Paso 1

Sea $u = \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Paso 1.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{- 2} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $- u^{- 1}$ en $1$ y en $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(- 1^{- 1}) + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 1 \cdot 1 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}$

Paso 4.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}$

Paso 4.2.3

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$- 1 + \frac{2}{\sqrt{2}}$

Paso 5

Simplifica cada término.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 1 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 5.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 5.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 5.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 5.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 5.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 5.2.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 5.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 5.2.6.5

Evalúa el exponente.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 5.3.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$- 1 + \sqrt{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 1 + \sqrt{2}$

Forma decimal:

$0.41421356 \dots$