Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{- π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} 2 \sec (x) \tan (x) d x$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{\frac{- π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \sec (x) \tan (x) d x$

Paso 2

Como la derivada de $\sec (x)$ es $\sec (x) \tan (x)$ , la integral de $\sec (x) \tan (x)$ es $\sec (x)$ .

$2 (\sec (x)]_{\frac{- π}{4}}^{\frac{3 π}{4}})$

Paso 3

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.1

Evalúa $\sec (x)$ en $\frac{3 π}{4}$ y en $\frac{- π}{4}$ .

$2 ((\sec (\frac{3 π}{4})) - \sec (\frac{- π}{4}))$

Paso 3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (\sec (\frac{3 π}{4}) - \sec (- \frac{π}{4}))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la secante es negativa en el segundo cuadrante.

$2 (- \sec (\frac{π}{4}) - \sec (- \frac{π}{4}))$

Paso 4.1.2

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$2 (- \frac{2}{\sqrt{2}} - \sec (- \frac{π}{4}))$

Paso 4.1.3

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$2 (- \frac{2}{\sqrt{2}} - \sec (\frac{7 π}{4}))$

Paso 4.1.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$2 (- \frac{2}{\sqrt{2}} - \sec (\frac{π}{4}))$

Paso 4.1.5

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$2 (- \frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}})$

Paso 4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{- 2 - 2}{\sqrt{2}}$

Paso 4.3

Resta $2$ de $- 2$ .

$2 \frac{- 4}{\sqrt{2}}$

Paso 4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (- \frac{4}{\sqrt{2}})$

Paso 4.5

Multiplica $2 (- \frac{4}{\sqrt{2}})$ .

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \frac{4}{\sqrt{2}}$

Paso 4.5.2

Combina $- 2$ y $\frac{4}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 4}{\sqrt{2}}$

Paso 4.5.3

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$\frac{- 8}{\sqrt{2}}$

Paso 4.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8}{\sqrt{2}}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{8}{\sqrt{2}}$

Forma decimal:

$- 5.65685424 \dots$