Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \sin (x) - \cos (x) d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \sin (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - \cos (x) d x$

Paso 2

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - \cos (x) d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \cos (x) d x$

Paso 4

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}})$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1.1

Evalúa $- \cos (x)$ en $\frac{5 π}{4}$ y en $\frac{π}{4}$ .

$(- \cos (\frac{5 π}{4})) + \cos (\frac{π}{4}) - (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}})$

Paso 5.1.2

Evalúa $\sin (x)$ en $\frac{5 π}{4}$ y en $\frac{π}{4}$ .

$- \cos (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{π}{4}) - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \cos (\frac{5 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 5.2.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \cos (\frac{5 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el tercer cuadrante.

$- - \cos (\frac{π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 5.3.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 5.3.3

Multiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 5.3.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 5.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.4.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el tercer cuadrante.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \sin (\frac{π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 5.3.4.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 5.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Paso 5.3.6

Resta $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 5.3.7.1

Factoriza $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Paso 5.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 5.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Paso 5.3.7.2.4

Divide $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - - \sqrt{2}$

Paso 5.3.8

Multiplica $- - \sqrt{2}$ .

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Paso 5.3.8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \sqrt{2}$

Paso 5.3.8.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

Paso 5.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

Paso 5.3.10

Suma $\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

Paso 5.3.11

Para escribir $\sqrt{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 5.3.12

Combina $\sqrt{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Paso 5.3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Paso 5.3.14

Reordena los factores de $\sqrt{2} \cdot 2$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 5.3.15

Suma $2 \sqrt{2}$ y $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Paso 6

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 6.1

Factoriza $2$ de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Paso 6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Paso 6.2.4

Divide $2 \sqrt{2}$ por $1$ .

$2 \sqrt{2}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 \sqrt{2}$

Forma decimal:

$2.82842712 \dots$