Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot^{3} (x) d x$

Paso 1

Aplica la fórmula de reducción.

$- \frac{\cot^{2} (x)}{2}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) d x$

Paso 2

La integral de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sin (x) |)$ .

$- \frac{\cot^{2} (x)}{2}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - (\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.1.1

Evalúa $- \frac{\cot^{2} (x)}{2}$ en $\frac{π}{2}$ y en $\frac{π}{4}$ .

$(- \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2}) + \frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - (\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Paso 3.1.2

Evalúa $\ln (| \sin (x) |)$ en $\frac{π}{2}$ y en $\frac{π}{4}$ .

$- \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} + \frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Paso 3.1.3

Simplifica.

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Paso 3.1.3.1

Para escribir $- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.1.3.2

Combina $- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot 2}{2}$

Paso 3.1.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot 2}{2}$

Paso 3.1.3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Paso 3.2.2

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Paso 3.2.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Paso 3.2.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Paso 3.2.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Paso 3.2.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 0 - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Paso 3.2.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{0 - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Paso 3.2.8

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} + \frac{0 - 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{2}$

Paso 3.2.9

Resta $2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ de $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{2}$

Paso 3.2.10

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 3.2.10.1

Factoriza $2$ de $- 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2}$

Paso 3.2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.10.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2 (1)}$

Paso 3.2.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} + \frac{- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{1}$

Paso 3.2.10.2.4

Divide $- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{1}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Paso 3.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ es aproximadamente $0.70710678$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Paso 3.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2} - \ln (1 \frac{2}{\sqrt{2}})$

Paso 3.3.4

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Forma decimal:

$0.15342640 \dots$