Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} x \cos (4 x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \cos (4 x)$ .

$x (\frac{1}{4} \sin (4 x))]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{4} \sin (4 x) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $\sin (4 x)$ .

$x \frac{\sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{4} \sin (4 x) d x$

Paso 2.2

Combina $x$ y $\frac{\sin (4 x)}{4}$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{4} \sin (4 x) d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - (\frac{1}{4} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \sin (4 x) d x)$

Paso 4

Sea $u = 4 x$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 4.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \frac{π}{4}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$u_{lower} = 4 \frac{π}{4}$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = π$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \frac{π}{3}$

Paso 4.5

Combina $4$ y $\frac{π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{4 π}{3}$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = \frac{4 π}{3}$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{4} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \sin (u) \frac{1}{4} d u$

Paso 5

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{4} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \frac{\sin (u)}{4} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \sin (u) d u)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \sin (u) d u$

Paso 7.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{16} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \sin (u) d u$

Paso 8

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{16} - \cos (u)]_{π}^{\frac{4 π}{3}}$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $\frac{x \sin (4 x)}{4}$ en $\frac{π}{3}$ y en $\frac{π}{4}$ .

$(\frac{\frac{π}{3} \sin (4 \frac{π}{3})}{4}) - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} - \cos (u)]_{π}^{\frac{4 π}{3}}$

Paso 9.2

Evalúa $- \cos (u)$ en $\frac{4 π}{3}$ y en $π$ .

$(\frac{\frac{π}{3} \sin (4 \frac{π}{3})}{4}) - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Combina $4$ y $\frac{π}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} \sin (\frac{4 π}{3})}{4} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Paso 9.3.2

Combina $\frac{π}{3}$ y $\sin (\frac{4 π}{3})$ .

$\frac{\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3}}{4} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Paso 9.3.3

Reescribe $\frac{\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3}}{4}$ como un producto.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3} \cdot \frac{1}{4} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Paso 9.3.4

Multiplica $\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3 \cdot 4} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Paso 9.3.5

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Paso 9.3.6

Combina $4$ y $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{4 π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Paso 9.3.7

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 9.3.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{4 π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Paso 9.3.7.2

Divide $π$ por $1$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π}{4} \sin (π)}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Paso 9.3.8

Combina $\frac{π}{4}$ y $\sin (π)$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π \sin (π)}{4}}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Paso 9.3.9

Reescribe $\frac{\frac{π \sin (π)}{4}}{4}$ como un producto.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - (\frac{π \sin (π)}{4} \cdot \frac{1}{4}) - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Paso 9.3.10

Multiplica $\frac{π \sin (π)}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{π \sin (π)}{4 \cdot 4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Paso 9.3.11

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{π \sin (π)}{16} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Paso 9.3.12

Para escribir $- \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π)) \cdot \frac{12}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 9.3.13

Combina $- \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))$ y $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} + \frac{- \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π)) \cdot 12}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 9.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) - \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π)) \cdot 12}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 9.3.15

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) - 12 (\frac{1}{16}) (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 9.3.16

Combina $- 12$ y $\frac{1}{16}$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{- 12}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 9.3.17

Cancela el factor común de $- 12$ y $16$ .

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Paso 9.3.17.1

Factoriza $4$ de $- 12$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{4 (- 3)}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 9.3.17.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.17.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 9.3.17.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 9.3.17.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{- 3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 9.3.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) - \frac{3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el tercer cuadrante.

$\frac{π (- \sin (\frac{π}{3})) - \frac{3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{π (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.1.3

Combina $π$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.4.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el tercer cuadrante.

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (- - \cos (\frac{π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.1.4.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (- - \frac{1}{2} + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.1.4.3

Multiplica $- - \frac{1}{2}$ .

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Paso 10.1.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (1 (\frac{1}{2}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.1.4.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.1.4.4

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} - \cos (0))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.1.4.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.1.4.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} - 1)}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.1.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.1.6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - 2}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.1.8.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (- \frac{1}{2})}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.1.10

Multiplica $- \frac{3}{4} (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 10.1.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} + 1 (\frac{3}{4}) \frac{1}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.1.10.2

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.1.10.3

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} + \frac{3}{4 \cdot 2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.1.10.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} + \frac{3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.1.11

Para escribir $- \frac{π \sqrt{3}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.1.12

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 10.1.12.1

Multiplica $\frac{π \sqrt{3}}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3} \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.1.12.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3} \cdot 4}{8} + \frac{3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.1.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- π \sqrt{3} \cdot 4 + 3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.1.14

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8} \cdot \frac{1}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.3

Multiplica $\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8} \cdot \frac{1}{12}$ .

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Paso 10.3.1

Multiplica $\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8}$ por $\frac{1}{12}$ .

$\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8 \cdot 12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.3.2

Multiplica $8$ por $12$ .

$\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.4

Factoriza $- 1$ de $- 4 π \sqrt{3}$ .

$\frac{- (4 π \sqrt{3}) + 3}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.5

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- (4 π \sqrt{3}) - 1 (- 3)}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.6

Factoriza $- 1$ de $- (4 π \sqrt{3}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- (4 π \sqrt{3} - 3)}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.7

Reescribe $- (4 π \sqrt{3} - 3)$ como $- 1 (4 π \sqrt{3} - 3)$ .

$\frac{- 1 (4 π \sqrt{3} - 3)}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Paso 10.9

Simplifica el numerador.

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Paso 10.9.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - \frac{π \sin (0)}{16}$

Paso 10.9.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - \frac{π \cdot 0}{16}$

Paso 10.10

Multiplica $π$ por $0$ .

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - \frac{0}{16}$

Paso 10.11

Divide $0$ por $16$ .

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - 0$

Paso 11

Resta $0$ de $- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96}$ .

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96}$

Forma decimal:

$- 0.19547492 \dots$