Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sin (2 x) - \cos (x) d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sin (2 x) d x + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Paso 2

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{6}$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.3

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = \frac{π}{3}$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 2.5.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = π$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \frac{π}{3}$

$u_{upper} = π$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{\frac{π}{3}}^{π} \sin (u) \frac{1}{2} d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Paso 3

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{π} \frac{\sin (u)}{2} d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{3}}^{π} \sin (u) d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Paso 5

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{\frac{π}{3}}^{π} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{\frac{π}{3}}^{π} - \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Paso 7

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{\frac{π}{3}}^{π} - (\sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $- \cos (u)$ en $π$ y en $\frac{π}{3}$ .

$\frac{1}{2} ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{3})) - (\sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Paso 8.2

Evalúa $\sin (x)$ en $\frac{π}{2}$ y en $\frac{π}{6}$ .

$\frac{1}{2} ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{3})) - ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 8.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{3})) - (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 9.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - (1 - \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 9.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - (1 - \frac{1}{2})$

Paso 9.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 9.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - \frac{2 - 1}{2}$

Paso 9.6

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{1}{2} (- - \cos (0) + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Paso 10.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{2} (- (- 1 \cdot 1) + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Paso 10.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (- - 1 + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Paso 10.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Paso 10.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{2} + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Paso 10.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 1}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 10.7

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 10.8

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$ .

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Paso 10.8.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2}$

Paso 10.8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

Paso 10.9

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 10.10

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 10.10.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Paso 10.10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{4}$

Paso 10.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 - 2}{4}$

Paso 10.12

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.25$