Cálculo Ejemplos

$\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} 2 \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

Paso 2

Sea $u = \sec (x)$ . Entonces $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Deja $u = \sec (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Diferencia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \sec (x)$ .

$u_{lower} = \sec (- \frac{π}{4})$

Paso 2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$u_{lower} = \sec (\frac{7 π}{4})$

Paso 2.3.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$u_{lower} = \sec (\frac{π}{4})$

Paso 2.3.3

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Paso 2.3.4

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 2.3.5

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 2.3.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 2.3.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 2.3.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 2.3.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 2.3.5.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 2.3.5.6.5

Evalúa el exponente.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.3.6

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.6.1

Cancela el factor común.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.3.6.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{2}$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \sec (x)$ .

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{4})$

Paso 2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Paso 2.5.2

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 2.5.3

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 2.5.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 2.5.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 2.5.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 2.5.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 2.5.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.5.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.5.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.5.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.5.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 2.5.3.6.5

Evalúa el exponente.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.4.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.5.4.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{2}$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = \sqrt{2}$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$2 \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} u d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Paso 4

Combina $\frac{1}{2}$ y $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Evalúa $\frac{u^{2}}{2}$ en $\sqrt{2}$ y en $\sqrt{2}$ .

$2 ((\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}) - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Paso 5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Paso 5.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Paso 5.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Paso 5.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Paso 5.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{2^{1}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Paso 5.2.1.5

Evalúa el exponente.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Paso 5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$2 (1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Paso 5.2.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2})$

Paso 5.2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2})$

Paso 5.2.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 (1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

Paso 5.2.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.4.1

Cancela el factor común.

$2 (1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

Paso 5.2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$2 (1 - \frac{2^{1}}{2})$

Paso 5.2.3.5

Evalúa el exponente.

$2 (1 - \frac{2}{2})$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$2 (1 - \frac{2}{2})$

Paso 5.2.4.2

Reescribe la expresión.

$2 (1 - 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 (1 - 1)$

Paso 5.2.6

Resta $1$ de $1$ .

$2 \cdot 0$

Paso 5.2.7

Multiplica $2$ por $0$ .

$0$