Cálculo Ejemplos

$\int \sec^{2} (x) \ln (e^{\tan (x)}) d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $\tan (x)$ fuera del exponente.

$\int \sec^{2} (x) (\tan (x) \ln (e)) d x$

Paso 1.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\int \sec^{2} (x) (\tan (x) \cdot 1) d x$

Paso 1.3

Multiplica $\tan (x)$ por $1$ .

$\int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Paso 2

Sea $u = \sec (x)$ . Entonces $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = \sec (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$