Cálculo Ejemplos

$\int t e^{- s t} d t$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = t$ y $d v = e^{- s t}$ .

$t (- \frac{e^{- s t}}{s}) - \int - \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Paso 2

Combina $t$ y $\frac{e^{- s t}}{s}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \int - \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - - \int \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + 1 \int \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Paso 4.2

Multiplica $\int \frac{e^{- s t}}{s} d t$ por $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \int \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{s}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{s}$ fuera de la integral.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int e^{- s t} d t$

Paso 6

Sea $u = - s t$ . Entonces $d u = - s d t$ , de modo que $- \frac{1}{s} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = - s t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $- s t$ .

$\frac{d}{d t} [- s t]$

Paso 6.1.2

Como $- s$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- s t$ con respecto a $t$ es $- s \frac{d}{d t} [t]$ .

$- s \frac{d}{d t} [t]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- s \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- s$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int - e^{u} \frac{1}{s} d u$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{s}$ y $e^{u}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int - \frac{e^{u}}{s} d u$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} (- \int \frac{e^{u}}{s} d u)$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{s}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{s}$ fuera de la integral.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} (- (\frac{1}{s} \int e^{u} d u))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{1}{s}$ por $\frac{1}{s}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s \cdot s} \int e^{u} d u$

Paso 10.2

Eleva $s$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{1} s} \int e^{u} d u$

Paso 10.3

Eleva $s$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{1} s^{1}} \int e^{u} d u$

Paso 10.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{1 + 1}} \int e^{u} d u$

Paso 10.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}} \int e^{u} d u$

Paso 11

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}} (e^{u} + C)$

Paso 12

Reescribe $- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}} (e^{u} + C)$ como $- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{e^{u}}{s^{2}} + C$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{e^{u}}{s^{2}} + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- s t$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{e^{- s t}}{s^{2}} + C$