Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt{x^{2} + 10 x} d x$

Paso 1

Completa el cuadrado.

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Paso 1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 10$

$c = 0$

Paso 1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{10}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $10$ y $2$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

Paso 1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{5}{1}$

Paso 1.3.2.2.4

Divide $5$ por $1$ .

$d = 5$

Paso 1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.1.1

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Paso 1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{100}{4}$

Paso 1.4.2.1.3

Divide $100$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Paso 1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$e = 0 - 25$

Paso 1.4.2.2

Resta $25$ de $0$ .

$e = - 25$

Paso 1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + 5)}^{2} - 25$ .

$\int \sqrt{{(x + 5)}^{2} - 25} d x$

Paso 2

Sea $u = x + 5$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = x + 5$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \sqrt{u^{2} - 25} d u$

Paso 3

Sea $u = 5 \sec (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d u = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ es positiva.

$\int \sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Simplifica $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Aplica la regla del producto a $5 \sec (t)$ .

$\int \sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 4.1.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\int \sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 4.1.2

Factoriza $25$ de $25 \sec^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 4.1.3

Factoriza $25$ de $- 25$ .

$\int \sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 4.1.4

Factoriza $25$ de $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$\int \sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 4.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \sqrt{25 \tan^{2} (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 4.1.6

Reescribe $25 \tan^{2} (t)$ como ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 4.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int 5 \tan (t) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$\int 25 \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 4.2.2

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int 25 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t) d t$

Paso 4.2.3

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int 25 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t) d t$

Paso 4.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 25 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Paso 4.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\int 25 \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Paso 5

Dado que $25$ es constante con respecto a $t$ , mueve $25$ fuera de la integral.

$25 \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Paso 6

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$25 \int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Paso 7

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$25 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

Paso 8

Simplifica los términos.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$25 \int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Paso 8.2

Simplifica cada término.

$25 \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$25 (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$25 (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 11

La integral de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 12

Factoriza $\sec (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

Paso 13

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sec (t)$ y $d v = \sec^{2} (t)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Paso 14

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Paso 15

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Paso 16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Paso 17

Simplifica la expresión.

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Paso 17.1

Suma $1$ y $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Paso 17.2

Reordena $\tan^{2} (t)$ y $\sec (t)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Paso 18

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Paso 19

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 19.1

Reescribe la exponenciación como un producto.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Paso 19.2

Aplica la propiedad distributiva.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Paso 19.3

Reordena $\sec (t)$ y $- 1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Paso 20

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Paso 21

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Paso 22

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Paso 23

Suma $1$ y $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Paso 24

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Paso 25

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Paso 26

Suma $2$ y $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Paso 27

Divide la única integral en varias integrales.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Paso 28

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Paso 29

La integral de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Paso 30

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 30.1

Aplica la propiedad distributiva.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 30.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 31

Al resolver $\int \sec^{3} (t) d t$ , obtenemos que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Paso 32

Multiplica $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ por $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Paso 33

Simplifica.

$25 \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Paso 34

Simplifica.

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Paso 34.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$25 \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Paso 34.2

Suma $- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ y $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$25 \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Paso 34.3

Combina $25$ y $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ .

$\frac{25 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{2} + C$

Paso 35

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 35.1

Reemplaza todos los casos de $t$ con $arcsec (\frac{u}{5})$ .

$\frac{25 (\sec (arcsec (\frac{u}{5})) \tan (arcsec (\frac{u}{5})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{u}{5})) + \tan (arcsec (\frac{u}{5})) |))}{2} + C$

Paso 35.2

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 5$ .

$\frac{25 (\sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36

Simplifica.

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Paso 36.1

Simplifica cada término.

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Paso 36.1.1

Las funciones secante y arcosecante son inversas.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36.1.2

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $arcsec (\frac{x + 5}{5})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1^{2}})$ . Por lo tanto, $\tan (arcsec (\frac{x + 5}{5}))$ es $\sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36.1.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1^{2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36.1.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{x + 5}{5}$ y $b = 1$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{(\frac{x + 5}{5} + 1) (\frac{x + 5}{5} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36.1.5

Simplifica.

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Paso 36.1.5.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{(\frac{x + 5}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x + 5}{5} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36.1.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 5 + 5}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36.1.5.3

Suma $5$ y $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36.1.5.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36.1.5.5

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36.1.5.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 5 - 1 \cdot 5}{5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36.1.5.7

Reescribe $\frac{x + 5 - 1 \cdot 5}{5}$ en forma factorizada.

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Paso 36.1.5.7.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 5 - 5}{5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36.1.5.7.2

Resta $5$ de $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 0}{5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36.1.5.7.3

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x}{5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36.1.6

Multiplica $\frac{x + 10}{5}$ por $\frac{x}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{(x + 10) x}{5 \cdot 5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36.1.7

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{(x + 10) x}{25}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36.1.8

Reescribe $\frac{(x + 10) x}{25}$ como ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 10) x)$ .

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Paso 36.1.8.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(x + 10) x$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{25}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36.1.8.2

Factoriza la potencia perfecta $5^{2}$ de $25$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{5^{2} \cdot 1}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36.1.8.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{5^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 10) x)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} (\frac{1}{5} \sqrt{(x + 10) x}) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36.1.10

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{25 (\frac{1}{5} \cdot \frac{x + 5}{5} \sqrt{(x + 10) x} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36.1.11

Multiplica $\frac{1}{5} \cdot \frac{x + 5}{5}$ .

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Paso 36.1.11.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{x + 5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5 \cdot 5} \sqrt{(x + 10) x} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36.1.11.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{25} \sqrt{(x + 10) x} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36.1.12

Combina $\frac{x + 5}{25}$ y $\sqrt{(x + 10) x}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36.1.13

Simplifica cada término.

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Paso 36.1.13.1

Las funciones secante y arcosecante son inversas.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Paso 36.1.13.2

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1} |))}{2} + C$

Paso 36.1.13.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1^{2}} |))}{2} + C$

Paso 36.1.13.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{x + 5}{5}$ y $b = 1$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{(\frac{x + 5}{5} + 1) (\frac{x + 5}{5} - 1)} |))}{2} + C$

Paso 36.1.13.5

Simplifica.

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Paso 36.1.13.5.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{(\frac{x + 5}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x + 5}{5} - 1)} |))}{2} + C$

Paso 36.1.13.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 5 + 5}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1)} |))}{2} + C$

Paso 36.1.13.5.3

Suma $5$ y $5$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1)} |))}{2} + C$

Paso 36.1.13.5.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})} |))}{2} + C$

Paso 36.1.13.5.5

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})} |))}{2} + C$

Paso 36.1.13.5.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 5 - 1 \cdot 5}{5}} |))}{2} + C$

Paso 36.1.13.5.7

Reescribe $\frac{x + 5 - 1 \cdot 5}{5}$ en forma factorizada.

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Paso 36.1.13.5.7.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 5 - 5}{5}} |))}{2} + C$

Paso 36.1.13.5.7.2

Resta $5$ de $5$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 0}{5}} |))}{2} + C$

Paso 36.1.13.5.7.3

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x}{5}} |))}{2} + C$

Paso 36.1.13.6

Multiplica $\frac{x + 10}{5}$ por $\frac{x}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{(x + 10) x}{5 \cdot 5}} |))}{2} + C$

Paso 36.1.13.7

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{(x + 10) x}{25}} |))}{2} + C$

Paso 36.1.13.8

Reescribe $\frac{(x + 10) x}{25}$ como ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 10) x)$ .

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Paso 36.1.13.8.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(x + 10) x$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{25}} |))}{2} + C$

Paso 36.1.13.8.2

Factoriza la potencia perfecta $5^{2}$ de $25$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{5^{2} \cdot 1}} |))}{2} + C$

Paso 36.1.13.8.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{5^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 10) x)} |))}{2} + C$

Paso 36.1.13.9

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \frac{1}{5} \sqrt{(x + 10) x} |))}{2} + C$

Paso 36.1.13.10

Combina $\frac{1}{5}$ y $\sqrt{(x + 10) x}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \frac{\sqrt{(x + 10) x}}{5} |))}{2} + C$

Paso 36.1.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5 + \sqrt{(x + 10) x}}{5} |))}{2} + C$

Paso 36.1.15

Reordena los factores en $x + 5 + \sqrt{(x + 10) x}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5 + \sqrt{x (x + 10)}}{5} |))}{2} + C$

Paso 36.1.16

Elimina los términos no negativos del valor absoluto.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}))}{2} + C$

Paso 36.2

Para escribir $- \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{25}{25}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot \frac{25}{25})}{2} + C$

Paso 36.3

Combina $- \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})$ y $\frac{25}{25}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} + \frac{- \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot 25}{25})}{2} + C$

Paso 36.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{25 \frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot 25}{25}}{2} + C$

Paso 36.5

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 36.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{25 \frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot 25}{25}}{2} + C$

Paso 36.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot 25}{2} + C$

Paso 36.6

Multiplica $25$ por $- 1$ .

$\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - 25 \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})}{2} + C$

Paso 36.7

Reordena los factores en $(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - 25 \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})$ .

$\frac{\sqrt{x (x + 10)} (x + 5) - 25 \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})}{2} + C$

Paso 37

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} (\sqrt{x (x + 10)} (x + 5) - 25 \ln (\frac{1}{5} | x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |)) + C$