Cálculo Ejemplos

$\int t^{5} - 4 e^{- 10 t} d t$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int t^{5} d t + \int - 4 e^{- 10 t} d t$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{5}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{6} t^{6}$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \int - 4 e^{- 10 t} d t$

Paso 3

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} t^{6} + C - 4 \int e^{- 10 t} d t$

Paso 4

Sea $u = - 10 t$ . Entonces $d u = - 10 d t$ , de modo que $- \frac{1}{10} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = - 10 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $- 10 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 10 t]$

Paso 4.1.2

Como $- 10$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 10 t$ con respecto a $t$ es $- 10 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 10 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 10 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$- 10$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C - 4 \int e^{u} \frac{1}{- 10} d u$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{6} t^{6} + C - 4 \int e^{u} (- \frac{1}{10}) d u$

Paso 5.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C - 4 \int - \frac{e^{u}}{10} d u$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} t^{6} + C - 4 (- \int \frac{e^{u}}{10} d u)$

Paso 7

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C + 4 \int \frac{e^{u}}{10} d u$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{10}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{10}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} t^{6} + C + 4 (\frac{1}{10} \int e^{u} d u)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{10}$ y $4$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \frac{4}{10} \int e^{u} d u$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $4$ y $10$ .

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Paso 9.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \frac{2 (2)}{10} \int e^{u} d u$

Paso 9.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Paso 9.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Paso 9.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \frac{2}{5} \int e^{u} d u$

Paso 10

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \frac{2}{5} (e^{u} + C)$

Paso 11

Simplifica.

$\frac{1}{6} t^{6} + \frac{2}{5} e^{u} + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 10 t$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + \frac{2}{5} e^{- 10 t} + C$