Cálculo Ejemplos

$\int \csc^{4} (3 x) d x$

Paso 1

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \csc^{4} (u) \frac{1}{3} d u$

Paso 2

Combina $\csc^{4} (u)$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\csc^{4} (u)}{3} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \csc^{4} (u) d u$

Paso 4

Aplica la fórmula de reducción.

$\frac{1}{3} (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} \int \csc^{2} (u) d u)$

Paso 5

Como la derivada de $- \cot (u)$ es $\csc^{2} (u)$ , la integral de $\csc^{2} (u)$ es $- \cot (u)$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (u) + C))$

Paso 6

Reescribe $\frac{1}{3} (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (u) + C))$ como $\frac{1}{3} (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} - \frac{2 \cot (u)}{3}) + C$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} - \frac{2 \cot (u)}{3}) + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{\cot (3 x) \csc^{2} (3 x)}{3} - \frac{2 \cot (3 x)}{3}) + C$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} (- \frac{\cot (3 x) \csc^{2} (3 x)}{3}) + \frac{1}{3} (- \frac{2 \cot (3 x)}{3}) + C$

Paso 8.2

Multiplica $\frac{1}{3} (- \frac{\cot (3 x) \csc^{2} (3 x)}{3})$ .

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Paso 8.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{\cot (3 x) \csc^{2} (3 x)}{3}$ .

$- \frac{\cot (3 x) \csc^{2} (3 x)}{3 \cdot 3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 \cot (3 x)}{3}) + C$

Paso 8.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{\cot (3 x) \csc^{2} (3 x)}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 \cot (3 x)}{3}) + C$

Paso 8.3

Multiplica $\frac{1}{3} (- \frac{2 \cot (3 x)}{3})$ .

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Paso 8.3.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2 \cot (3 x)}{3}$ .

$- \frac{\cot (3 x) \csc^{2} (3 x)}{9} - \frac{2 \cot (3 x)}{3 \cdot 3} + C$

Paso 8.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{\cot (3 x) \csc^{2} (3 x)}{9} - \frac{2 \cot (3 x)}{9} + C$

Paso 9

Reordena los términos.

$- \frac{1}{9} \cot (3 x) \csc^{2} (3 x) - \frac{2}{9} \cot (3 x) + C$