Cálculo Ejemplos

$\int \csc^{4} (\frac{x}{4}) d x$

Paso 1

Sea $u = \frac{x}{4}$ . Entonces $d u = \frac{1}{4} d x$ , de modo que $4 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \frac{x}{4}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Paso 1.1.2

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \csc^{4} (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{4}$ .

$\int \csc^{4} (u) (1 \cdot 4) d u$

Paso 2.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$\int \csc^{4} (u) \cdot 4 d u$

Paso 2.3

Mueve $4$ a la izquierda de $\csc^{4} (u)$ .

$\int 4 \csc^{4} (u) d u$

Paso 3

Dado que $4$ es constante con respecto a $u$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \csc^{4} (u) d u$

Paso 4

Aplica la fórmula de reducción.

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} \int \csc^{2} (u) d u)$

Paso 5

Como la derivada de $- \cot (u)$ es $\csc^{2} (u)$ , la integral de $\csc^{2} (u)$ es $- \cot (u)$ .

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (u) + C))$

Paso 6

Reescribe $4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (u) + C))$ como $4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} - \frac{2 \cot (u)}{3}) + C$ .

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} - \frac{2 \cot (u)}{3}) + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{4}$ .

$4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} - \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3}) + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

Paso 8.2

Multiplica $4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3})$ .

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Paso 8.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

Paso 8.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3}$ .

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

Paso 8.3

Multiplica $4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3})$ .

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Paso 8.3.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} - 4 \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

Paso 8.3.2

Combina $- 4$ y $\frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}$ .

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + \frac{- 4 (2 \cot (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Paso 8.3.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + \frac{- 8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

Paso 8.4

Simplifica cada término.

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Paso 8.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 \cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} + \frac{- 8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

Paso 8.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 \cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} - \frac{8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

Paso 9

Reordena los términos.

$- \frac{4}{3} \cot (\frac{1}{4} x) \csc^{2} (\frac{1}{4} x) - \frac{8}{3} \cot (\frac{1}{4} x) + C$