Cálculo Ejemplos

$\int arccot (5 y) d y$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = arccot (5 y)$ y $d v = 1$ .

$arccot (5 y) y - \int y (- \frac{5}{1 + 25 y^{2}}) d y$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $y$ y $\frac{5}{1 + 25 y^{2}}$ .

$arccot (5 y) y - \int - \frac{y \cdot 5}{1 + 25 y^{2}} d y$

Paso 2.2

Mueve $5$ a la izquierda de $y$ .

$arccot (5 y) y - \int - \frac{5 y}{1 + 25 y^{2}} d y$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$arccot (5 y) y - - \int \frac{5 y}{1 + 25 y^{2}} d y$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$arccot (5 y) y + 1 \int \frac{5 y}{1 + 25 y^{2}} d y$

Paso 4.2

Multiplica $\int \frac{5 y}{1 + 25 y^{2}} d y$ por $1$ .

$arccot (5 y) y + \int \frac{5 y}{1 + 25 y^{2}} d y$

Paso 5

Dado que $5$ es constante con respecto a $y$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$arccot (5 y) y + 5 \int \frac{y}{1 + 25 y^{2}} d y$

Paso 6

Sea $u = 1 + 25 y^{2}$ . Entonces $d u = 50 y d y$ , de modo que $\frac{1}{50} d u = y d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = 1 + 25 y^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $1 + 25 y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + 25 y^{2}]$

Paso 6.1.2

Diferencia.

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Paso 6.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 25 y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [25 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [25 y^{2}]$

Paso 6.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [25 y^{2}]$

Paso 6.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [25 y^{2}]$ .

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Paso 6.1.3.1

Como $25$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $25 y^{2}$ con respecto a $y$ es $25 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 25 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 6.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 25 (2 y)$

Paso 6.1.3.3

Multiplica $2$ por $25$ .

$0 + 50 y$

Paso 6.1.4

Suma $0$ y $50 y$ .

$50 y$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$arccot (5 y) y + 5 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{50} d u$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{50}$ .

$arccot (5 y) y + 5 \int \frac{1}{u \cdot 50} d u$

Paso 7.2

Mueve $50$ a la izquierda de $u$ .

$arccot (5 y) y + 5 \int \frac{1}{50 u} d u$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{50}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{50}$ fuera de la integral.

$arccot (5 y) y + 5 (\frac{1}{50} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{50}$ y $5$ .

$arccot (5 y) y + \frac{5}{50} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $5$ y $50$ .

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Paso 9.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$arccot (5 y) y + \frac{5 (1)}{50} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.2.1

Factoriza $5$ de $50$ .

$arccot (5 y) y + \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9.2.2.2

Cancela el factor común.

$arccot (5 y) y + \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9.2.2.3

Reescribe la expresión.

$arccot (5 y) y + \frac{1}{10} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$arccot (5 y) y + \frac{1}{10} (\ln (| u |) + C)$

Paso 11

Simplifica.

$arccot (5 y) y + \frac{1}{10} \ln (| u |) + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + 25 y^{2}$ .

$arccot (5 y) y + \frac{1}{10} \ln (| 1 + 25 y^{2} |) + C$