Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\ln (x^{2})}{x^{2}} d x$

Paso 1

Reescribe $\frac{\ln (x^{2})}{x^{2}}$ como $\frac{2 \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\int \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Paso 3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$2 \int \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \int \ln (x) x^{- 2} d x$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = x^{- 2}$ .

$2 (\ln (x) (- \frac{1}{x}) - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\ln (x)$ y $\frac{1}{x}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x \cdot x} d x)$

Paso 5.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x} d x)$

Paso 5.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x)$

Paso 5.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x)$

Paso 5.6

Suma $1$ y $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{2}} d x)$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - - \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + 1 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Paso 7.1.2

Multiplica $\int \frac{1}{x^{2}} d x$ por $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Paso 7.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.2.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Paso 7.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 7.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{2 \cdot - 1} d x)$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{- 2} d x)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C)$

Paso 9

Reescribe $2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C)$ como $2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}) + C$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}) + C$