Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{2}}^{0} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 1

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int_{\frac{π}{2}}^{0} d t + \int_{\frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \int_{\frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

Paso 4

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 4.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = π$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0$

Paso 4.5

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = 0$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \int_{π}^{0} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 5

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \int_{π}^{0} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \int_{π}^{0} \cos (u) d u)$

Paso 7

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{π}^{0})$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $t$ en $0$ y en $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((0) - \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{π}^{0})$

Paso 8.2

Evalúa $\sin (u)$ en $0$ y en $π$ .

$\frac{1}{2} ((0) - \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (0)) - \sin (π)))$

Paso 8.3

Resta $\frac{π}{2}$ de $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (π)))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + \frac{1}{2} (0 - \sin (π)))$

Paso 9.2

Resta $\sin (π)$ de $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + \frac{1}{2} (- \sin (π)))$

Paso 9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (π)$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - \frac{\sin (π)}{2})$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - \frac{\sin (0)}{2})$

Paso 10.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - \frac{0}{2})$

Paso 10.2

Divide $0$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - 0)$

Paso 10.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + 0)$

Paso 10.4

Suma $- \frac{π}{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2})$

Paso 10.5

Multiplica $\frac{1}{2} (- \frac{π}{2})$ .

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Paso 10.5.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 10.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{π}{4}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{π}{4}$

Forma decimal:

$- 0.78539816 \dots$