Cálculo Ejemplos

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 4 π (1 - \cos (x)) d x$

Paso 1

Dado que $4 π$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4 π$ fuera de la integral.

$4 π \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 1 - \cos (x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$4 π (\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \cos (x) d x)$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \cos (x) d x)$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x)$

Paso 5

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}))$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1.1

Evalúa $x$ en $\frac{π}{3}$ y en $- \frac{π}{3}$ .

$4 π ((\frac{π}{3}) + \frac{π}{3} - (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}))$

Paso 6.1.2

Evalúa $\sin (x)$ en $\frac{π}{3}$ y en $- \frac{π}{3}$ .

$4 π (\frac{π}{3} + \frac{π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

Paso 6.1.3

Simplifica.

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Paso 6.1.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 π (\frac{π + π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

Paso 6.1.3.2

Suma $π$ y $π$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

Paso 6.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})))$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{5 π}{3})))$

Paso 6.3.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \sin (\frac{π}{3})))$

Paso 6.3.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Paso 6.3.4

Multiplica $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 6.3.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Paso 6.3.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Paso 6.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2})$

Paso 6.3.6

Suma $\sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{2})$

Paso 6.3.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.7.1

Cancela el factor común.

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{2})$

Paso 6.3.7.2

Divide $\sqrt{3}$ por $1$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - \sqrt{3})$

Paso 6.3.8

Aplica la propiedad distributiva.

$4 π \frac{2 π}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Paso 6.3.9

Multiplica $4 π \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 6.3.9.1

Combina $\frac{2 π}{3}$ y $4$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{3} π + 4 π (- \sqrt{3})$

Paso 6.3.9.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 π}{3} π + 4 π (- \sqrt{3})$

Paso 6.3.9.3

Combina $\frac{8 π}{3}$ y $π$ .

$\frac{8 π π}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Paso 6.3.9.4

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 (π^{1} π)}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Paso 6.3.9.5

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 (π^{1} π^{1})}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Paso 6.3.9.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 π^{1 + 1}}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Paso 6.3.9.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{8 π^{2}}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Paso 6.3.10

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{8 π^{2}}{3} - 4 π \sqrt{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{8 π^{2}}{3} - 4 π \sqrt{3}$

Forma decimal:

$4.55335269 \dots$