Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x - \sin (x) d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

Paso 4

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1.1

Evalúa $\frac{1}{2} x^{2}$ en $π$ y en $\frac{π}{2}$ .

$(\frac{1}{2} π^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Paso 5.1.2

Evalúa $- \cos (x)$ en $π$ y en $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} π^{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

Paso 5.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $π^{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + 0)$

Paso 5.2.2

Suma $- \cos (π)$ y $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - - \cos (π)$

Paso 5.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 \cos (π)$

Paso 5.2.4

Multiplica $\cos (π)$ por $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + \cos (π)$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{2^{2}} + \cos (π)$

Paso 5.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{4} + \cos (π)$

Paso 5.3.3

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{4}$ .

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $\frac{π^{2}}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{4 \cdot 2} + \cos (π)$

Paso 5.3.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Paso 5.3.4

Para escribir $\frac{π^{2}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Paso 5.3.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.5.1

Multiplica $\frac{π^{2}}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Paso 5.3.5.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{π^{2} \cdot 4}{8} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Paso 5.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π^{2} \cdot 4 - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Paso 5.3.7

Resta $π^{2}$ de $π^{2} \cdot 4$ .

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Paso 5.3.7.1

Reordena $π^{2}$ y $4$ .

$\frac{4 \cdot π^{2} - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Paso 5.3.7.2

Resta $π^{2}$ de $4 \cdot π^{2}$ .

$\frac{3 \cdot π^{2}}{8} + \cos (π)$

$\frac{3 π^{2}}{8} + \cos (π)$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{3 π^{2}}{8} - \cos (0)$

Paso 6.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1 \cdot 1$

Paso 6.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1$

Forma decimal:

$2.70110165 \dots$