Cálculo Ejemplos

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} \cos (2 x) - \sin (x) d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} \cos (2 x) d x + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

Paso 2

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{2}$ al numerador.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Paso 2.3.3

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = - π$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Paso 2.5.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Paso 2.5.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- π}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

Paso 3

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- π}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{- π}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

Paso 5

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} \sin (x) d x$

Paso 7

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{\frac{π}{3}} - (- \cos (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}})$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Evalúa $\sin (u)$ en $\frac{π}{3}$ y en $- π$ .

$\frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (- π)) - (- \cos (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}})$

Paso 8.2

Evalúa $- \cos (x)$ en $\frac{π}{6}$ y en $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (- π)) - ((- \cos (\frac{π}{6})) + \cos (- \frac{π}{2}))$

Paso 8.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- π)) - (- \cos (\frac{π}{6}) + \cos (- \frac{π}{2}))$

Paso 9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- π)) - (- \cos (\frac{π}{6}) + \cos (- \frac{π}{2}))$

Paso 9.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- π)) - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Paso 10

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0)) - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Paso 10.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0) - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Paso 10.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0) - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Paso 10.4

Suma $\frac{\sqrt{3}}{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Paso 10.5

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.5.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Paso 10.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Paso 10.6

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.6.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{3 π}{2}))$

Paso 10.6.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{\sqrt{3}}{4} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{2}))$

Paso 10.6.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 0)$

Paso 10.7

Suma $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} - - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 10.8

Multiplica $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 10.8.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 10.9

Para escribir $\frac{\sqrt{3}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 10.10

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.10.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 10.10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{4}$

Paso 10.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2}{4}$

Paso 10.12

Reordena los factores de $\sqrt{3} \cdot 2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{4}$

Paso 10.13

Suma $\sqrt{3}$ y $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Forma decimal:

$1.29903810 \dots$