Cálculo Ejemplos

$\int x^{2} \sqrt[4]{4 x - 3} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = \sqrt[4]{4 x - 3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{5} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}) - \int \frac{1}{5} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} (2 x) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{5}$ y ${(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}$ .

$x^{2} \frac{{(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{1}{5} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} (2 x) d x$

Paso 2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{{(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{1}{5} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} (2 x) d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{5} \cdot 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{5} \cdot 2$ fuera de la integral.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 2 \int {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} (x) d x)$

Paso 4

Combina $\frac{1}{5}$ y $2$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} (x) d x$

Paso 5

Sea $u = 4 x - 3$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 4 x - 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $4 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 3]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $4$ y $0$ .

$4$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int u^{\frac{5}{4}} (\frac{u}{4} + \frac{3}{4}) \frac{1}{4} d u$

Paso 6

Combina $\frac{1}{4}$ y $u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} (\frac{u}{4} + \frac{3}{4}) d u$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{u^{\frac{5}{4}}}{4}$ por $\frac{u}{4}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5}{4}} u}{4 \cdot 4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Paso 7.3

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5}{4}} u^{1}}{4 \cdot 4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Paso 7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5}{4} + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Paso 7.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5}{4} + \frac{4}{4}}}{4 \cdot 4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Paso 7.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5 + 4}{4}}}{4 \cdot 4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Paso 7.7

Suma $5$ y $4$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{4 \cdot 4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Paso 7.8

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{16} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Paso 7.9

Multiplica $\frac{u^{\frac{5}{4}}}{4}$ por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{16} + \frac{u^{\frac{5}{4}} \cdot 3}{4 \cdot 4} d u$

Paso 7.10

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{16} + \frac{u^{\frac{5}{4}} \cdot 3}{16} d u$

Paso 8

Mueve $3$ a la izquierda de $u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{16} + \frac{3 u^{\frac{5}{4}}}{16} d u$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{16} d u + \int \frac{3 u^{\frac{5}{4}}}{16} d u)$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{16}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{16}$ fuera de la integral.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{16} \int u^{\frac{9}{4}} d u + \int \frac{3 u^{\frac{5}{4}}}{16} d u)$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{9}{4}}$ con respecto a $u$ es $\frac{4}{13} u^{\frac{13}{4}}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{16} (\frac{4}{13} u^{\frac{13}{4}} + C) + \int \frac{3 u^{\frac{5}{4}}}{16} d u)$

Paso 12

Combina $\frac{4}{13}$ y $u^{\frac{13}{4}}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{16} (\frac{4 u^{\frac{13}{4}}}{13} + C) + \int \frac{3 u^{\frac{5}{4}}}{16} d u)$

Paso 13

Dado que $\frac{3}{16}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{3}{16}$ fuera de la integral.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{16} (\frac{4 u^{\frac{13}{4}}}{13} + C) + \frac{3}{16} \int u^{\frac{5}{4}} d u)$

Paso 14

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{5}{4}}$ con respecto a $u$ es $\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{16} (\frac{4 u^{\frac{13}{4}}}{13} + C) + \frac{3}{16} (\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C))$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Combina $\frac{4}{9}$ y $u^{\frac{9}{4}}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{16} (\frac{4 u^{\frac{13}{4}}}{13} + C) + \frac{3}{16} (\frac{4 u^{\frac{9}{4}}}{9} + C))$

Paso 15.2

Simplifica.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12}) + C$

Paso 15.3

Simplifica.

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Paso 15.3.1

Para escribir $- \frac{2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12}) \cdot \frac{5}{5} + C$

Paso 15.3.2

Combina $- \frac{2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} + \frac{- \frac{2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12}) \cdot 5}{5} + C$

Paso 15.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} - \frac{2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12}) \cdot 5}{5} + C$

Paso 15.3.4

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} - 5 (\frac{2}{5}) (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Paso 15.3.5

Combina $- 5$ y $\frac{2}{5}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 5 \cdot 2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Paso 15.3.6

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 10}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Paso 15.3.7

Cancela el factor común de $- 10$ y $5$ .

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Paso 15.3.7.1

Factoriza $5$ de $- 10$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} + \frac{5 \cdot - 2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Paso 15.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.3.7.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} + \frac{5 \cdot - 2}{5 (1)} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Paso 15.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} + \frac{5 \cdot - 2}{5 \cdot 1} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Paso 15.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 2}{1} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Paso 15.3.7.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} - 2 (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Paso 16

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x - 3$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} - 2 (\frac{{(4 x - 3)}^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{{(4 x - 3)}^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Paso 17

Reordena los términos.

$\frac{1}{5} (x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} - 2 (\frac{1}{52} {(4 x - 3)}^{\frac{13}{4}} + \frac{1}{12} {(4 x - 3)}^{\frac{9}{4}})) + C$