Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x}{{(1 - x)}^{10}} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Paso 1.1.4

Resta $1$ de $0$ .

$- 1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- (- u + 1)}{u^{10}} d u$

Paso 2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{- u + 1}{u^{10}} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{- u + 1}{u^{10}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $u^{10}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \int (- u + 1) {(u^{10})}^{- 1} d u$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{10})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int (- u + 1) u^{10 \cdot - 1} d u$

Paso 4.2.2

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$- \int (- u + 1) u^{- 10} d u$

Paso 5

Multiplica $(- u + 1) u^{- 10}$ .

$- \int - u \cdot u^{- 10} + 1 u^{- 10} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $u$ por $u^{- 10}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1

Mueve $u^{- 10}$ .

$- \int - (u^{- 10} u) + 1 u^{- 10} d u$

Paso 6.1.2

Multiplica $u^{- 10}$ por $u$ .

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Paso 6.1.2.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$- \int - (u^{- 10} u^{1}) + 1 u^{- 10} d u$

Paso 6.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \int - u^{- 10 + 1} + 1 u^{- 10} d u$

Paso 6.1.3

Suma $- 10$ y $1$ .

$- \int - u^{- 9} + 1 u^{- 10} d u$

Paso 6.2

Multiplica $u^{- 10}$ por $1$ .

$- \int - u^{- 9} + u^{- 10} d u$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$- (\int - u^{- 9} d u + \int u^{- 10} d u)$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- (- \int u^{- 9} d u + \int u^{- 10} d u)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 9}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{8} u^{- 8}$ .

$- (- (- \frac{1}{8} u^{- 8} + C) + \int u^{- 10} d u)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Combina $u^{- 8}$ y $\frac{1}{8}$ .

$- (- (- \frac{u^{- 8}}{8} + C) + \int u^{- 10} d u)$

Paso 10.2

Mueve $u^{- 8}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- (- \frac{1}{8 u^{8}} + C) + \int u^{- 10} d u)$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 10}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{9} u^{- 9}$ .

$- (- (- \frac{1}{8 u^{8}} + C) - \frac{1}{9} u^{- 9} + C)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica.

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Paso 12.1.1

Combina $u^{- 9}$ y $\frac{1}{9}$ .

$- (- (- \frac{1}{8 u^{8}} + C) - \frac{u^{- 9}}{9} + C)$

Paso 12.1.2

Mueve $u^{- 9}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- (- \frac{1}{8 u^{8}} + C) - \frac{1}{9 u^{9}} + C)$

Paso 12.2

Simplifica.

$- (\frac{1}{8 u^{8}} - \frac{1}{9 u^{9}}) + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x$ .

$- (\frac{1}{8 {(1 - x)}^{8}} - \frac{1}{9 {(1 - x)}^{9}}) + C$