Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x}{{(\frac{3}{2} y - x)}^{2}} d x$

Paso 1

Sea $u = \frac{3}{2} y - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \frac{3}{2} y - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{3}{2} y - x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y - x]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3}{2} y - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2.2

Como $\frac{3}{2} y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{2} y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Paso 1.1.4

Resta $1$ de $0$ .

$- 1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- (- u + \frac{3 y}{2})}{u^{2}} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}} d u$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\int - (\frac{2}{2} \cdot \frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}}) d u$

Paso 2.3

Combinar.

$\int - \frac{2 (- u + \frac{3 y}{2})}{2 u^{2}} d u$

Paso 2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int - \frac{2 (- u) + 2 \frac{3 y}{2}}{2 u^{2}} d u$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.1

Cancela el factor común.

$\int - \frac{2 (- u) + 2 \frac{3 y}{2}}{2 u^{2}} d u$

Paso 2.5.2

Reescribe la expresión.

$\int - \frac{2 (- u) + 3 y}{2 u^{2}} d u$

Paso 2.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\int - \frac{- 2 u + 3 y}{2 u^{2}} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{- 2 u + 3 y}{2 u^{2}} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{- 2 u + 3 y}{u^{2}} d u)$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 5.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 5.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) u^{- 2} d u$

Paso 6

Expande $(- 2 u + 3 y) u^{- 2}$ .

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{2} \int - 2 u \cdot u^{- 2} + 3 y u^{- 2} d u$

Paso 6.2

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{2} \int - 2 (u^{1} u^{- 2}) + 3 y u^{- 2} d u$

Paso 6.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{2} \int - 2 u^{1 - 2} + 3 y u^{- 2} d u$

Paso 6.4

Resta $2$ de $1$ .

$- \frac{1}{2} \int - 2 u^{- 1} + 3 y u^{- 2} d u$

Paso 6.5

Reordena $- 2 u^{- 1}$ y $3 y u^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} \int 3 y u^{- 2} - 2 u^{- 1} d u$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$- \frac{1}{2} (\int 3 y u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 1} d u)$

Paso 8

Dado que $3 y$ es constante con respecto a $u$ , mueve $3 y$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} (3 y \int u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 1} d u)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) + \int - 2 u^{- 1} d u)$

Paso 10

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) - 2 \int u^{- 1} d u)$

Paso 11

La integral de $u^{- 1}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) - 2 (\ln (| u |) + C))$

Paso 12

Simplifica.

$- \frac{1}{2} (- \frac{3 y}{u} - 2 \ln (| u |)) + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{3}{2} y - x$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{3 y}{\frac{3}{2} y - x} - 2 \ln (| \frac{3}{2} y - x |)) + C$