Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt{t} (t^{4} + t - 4) d t$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = t^{4} + t - 4$ y $d v = \sqrt{t}$ .

$(t^{4} + t - 4) (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (4 t^{3} + 1) d t$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (4 t^{3} + 1) d t$

Paso 2.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (4 t^{3} + 1) d t$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (4 t^{3}) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 1 d t$

Paso 3.2

Reordena $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ y $4$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 4 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t^{3} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 1 d t$

Paso 3.3

Reordena $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ y $1$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 4 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t^{3} + 1 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Paso 3.4

Combina $4$ y $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3} t^{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Paso 3.5

Multiplica $4$ por $2$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} t^{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Paso 3.6

Combina $\frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ y $t^{3}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3}{2}} t^{3}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Paso 3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3}{2} + 3}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Paso 3.8

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Paso 3.9

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Paso 3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3 + 3 \cdot 2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Paso 3.11

Simplifica el numerador.

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Paso 3.11.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3 + 6}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Paso 3.11.2

Suma $3$ y $6$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{9}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Paso 3.12

Multiplica $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ por $1$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{9}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int \frac{8 t^{\frac{9}{2}}}{3} d t + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Paso 5

Dado que $\frac{8}{3}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{8}{3}$ fuera de la integral.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} \int t^{\frac{9}{2}} d t + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{9}{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{2}{11} t^{\frac{11}{2}}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} (\frac{2}{11} t^{\frac{11}{2}} + C) + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Paso 7

Combina $\frac{2}{11}$ y $t^{\frac{11}{2}}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} (\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + C) + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Paso 8

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} (\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + C) + \frac{2}{3} \int t^{\frac{3}{2}} d t)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} (\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + C) + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} (\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + C) + \frac{2}{3} (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Paso 10.2

Simplifica.

$\frac{t^{\frac{11}{2}} \cdot 2}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 10.3

Simplifica.

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Paso 10.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $t^{\frac{11}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 10.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 10.3.3

Multiplica $\frac{8}{3}$ por $\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11}$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 (2 t^{\frac{11}{2}})}{3 \cdot 11} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 10.3.4

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{3 \cdot 11} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 10.3.5

Multiplica $3$ por $11$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 10.3.6

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{2 (2 t^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}) + C$

Paso 10.3.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5}) + C$

Paso 10.3.8

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Paso 10.3.9

Para escribir $- (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Paso 10.3.10

Combina $- (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{- (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Paso 10.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Paso 10.3.12

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}} - 3 (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Paso 11

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} (2 t^{\frac{11}{2}} - 3 (\frac{16}{33} t^{\frac{11}{2}} + \frac{4}{15} t^{\frac{5}{2}})) + \frac{2}{3} t^{\frac{5}{2}} - \frac{8}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$