Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt{x} \ln (x^{2}) d x$

Paso 1

Reescribe $\sqrt{x} \ln (x^{2})$ como $\sqrt{x} (2 \ln (x))$ .

$\int \sqrt{x} (2 \ln (x)) d x$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \sqrt{x} (\ln (x)) d x$

Paso 3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = \sqrt{x}$ .

$2 (\ln (x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\ln (x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Paso 4.2

Combina $\ln (x)$ y $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Paso 4.3

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Paso 4.4

Multiplica $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ por $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3 x} d x)$

Paso 4.5

Mueve $x^{1}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}}{3} d x)$

Paso 4.6

Multiplica $x^{\frac{3}{2}}$ por $x^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.6.1

Mueve $x^{- 1}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}})}{3} d x)$

Paso 4.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{- 1 + \frac{3}{2}}}{3} d x)$

Paso 4.6.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} d x)$

Paso 4.6.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} d x)$

Paso 4.6.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}}{3} d x)$

Paso 4.6.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{- 2 + 3}{2}}}{3} d x)$

Paso 4.6.6.2

Suma $- 2$ y $3$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3} d x)$

Paso 5

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x))$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C))$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C))$

Paso 7.2

Reescribe $2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C))$ como $2 (\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{9}) + C$ .

$2 (\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{9}) + C$

Paso 7.3

Reordena los términos.

$2 (\frac{2}{3} \ln (x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}}) + C$