Cálculo Ejemplos

$\int \frac{v + 1}{- 1 - v^{2}} d v$

Paso 1

Divide la fracción $\frac{v + 1}{- 1 - v^{2}}$ en dos fracciones.

$\int \frac{v}{- 1 - v^{2}} + \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{v}{- 1 - v^{2}} d v + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Paso 3

Sea $u = - 1 - v^{2}$ . Entonces $d u = - 2 v d v$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = v d v$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = - 1 - v^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d v}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $- 1 - v^{2}$ .

$\frac{d}{d v} [- 1 - v^{2}]$

Paso 3.1.2

Diferencia.

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Paso 3.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 1 - v^{2}$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [- 1] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{d}{d v} [- 1] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$

Paso 3.1.2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $v$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

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Paso 3.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $- v^{2}$ con respecto a $v$ es $- \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 v)$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 v$

Paso 3.1.4

Resta $2 v$ de $0$ .

$- 2 v$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Paso 4.3

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Paso 8

Factoriza $- 1$ de $- 1 - v^{2}$ .

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Paso 8.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 \cdot 1 - v^{2}} d v$

Paso 8.2

Factoriza $- 1$ de $- 1 \cdot 1$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1) - v^{2}} d v$

Paso 8.3

Factoriza $- 1$ de $- v^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1) - (v^{2})} d v$

Paso 8.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (v^{2})$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1 + v^{2})} d v$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe $- 1 (1 + v^{2})$ como $- (1 + v^{2})$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- (1 + v^{2})} d v$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 9.2.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{- 1 (- 1)}{- (1 + v^{2})} d v$

Paso 9.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{1}{1 + v^{2}} d v$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $v$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{1 + v^{2}} d v$

Paso 11

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{1^{2} + v^{2}} d v$

Paso 12

La integral de $\frac{1}{1^{2} + v^{2}}$ con respecto a $v$ es $\arctan (v) + C$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\arctan (v) + C)$

Paso 13

Simplifica.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) - \arctan (v) + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 1 - v^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 1 - v^{2} |) - \arctan (v) + C$