Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt{3 + s} {(s + 1)}^{2} d s$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = {(s + 1)}^{2}$ y $d v = \sqrt{3 + s}$ .

${(s + 1)}^{2} (\frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(3 + s)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(s + 1)}^{2} \frac{2 {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s$

Paso 2.2

Combina ${(s + 1)}^{2}$ y $\frac{2 {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{{(s + 1)}^{2} (2 {(3 + s)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s$

Paso 2.3

Mueve $2$ a la izquierda de ${(s + 1)}^{2}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s$

Paso 3

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $s$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{3} \int {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s)$

Paso 4

Sea $u = 3 + s$ . Entonces $d u = d s$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 3 + s$ . Obtén $\frac{d u}{d s}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $3 + s$ .

$\frac{d}{d s} [3 + s]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + s$ con respecto a $s$ es $\frac{d}{d s} [3] + \frac{d}{d s} [s]$ .

$\frac{d}{d s} [3] + \frac{d}{d s} [s]$

Paso 4.1.3

Como $3$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $3$ con respecto a $s$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d s} [s]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ es $n s^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 4.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (2 (u - 3) + 2) d u$

Paso 5

Expande $u^{\frac{3}{2}} (2 (u - 3) + 2)$ .

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (2 u + 2 \cdot - 3 + 2) d u$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (2 u + 2 \cdot - 3) + u^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d u$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (2 u) + u^{\frac{3}{2}} (2 \cdot - 3) + u^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d u$

Paso 5.4

Reordena $u^{\frac{3}{2}}$ y $2$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 \cdot u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} (2 \cdot - 3) + u^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d u$

Paso 5.5

Mueve $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 \cdot u^{\frac{3}{2}} u + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d u$

Paso 5.6

Reordena $u^{\frac{3}{2}}$ y $2$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 \cdot u^{\frac{3}{2}} u + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 5.7

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 (u^{\frac{3}{2}} u^{1}) + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 5.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{3}{2} + 1} + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 5.9

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 5.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{3 + 2}{2}} + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 5.11

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{5}{2}} + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 5.12

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{5}{2}} - 6 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 5.13

Suma $- 6 u^{\frac{3}{2}}$ y $2 u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{5}{2}} - 4 u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\int 2 u^{\frac{5}{2}} d u + \int - 4 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Paso 7

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (2 \int u^{\frac{5}{2}} d u + \int - 4 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (2 (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) + \int - 4 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Paso 9

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (2 (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) - 4 \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (2 (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) - 4 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 11.2

Simplifica.

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Paso 11.2.1

Para escribir $- \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Paso 11.2.2

Combina $- \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} + C$

Paso 11.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} + C$

Paso 11.2.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - 3 (\frac{2}{3}) (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Paso 11.2.5

Combina $- 3$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 \cdot 2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Paso 11.2.6

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Paso 11.2.7

Cancela el factor común de $- 6$ y $3$ .

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Paso 11.2.7.1

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Paso 11.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.7.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Paso 11.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Paso 11.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2}{1} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Paso 11.2.7.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 + s$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{4 {(3 + s)}^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 {(3 + s)}^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Paso 13

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} (2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{4}{7} {(3 + s)}^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} {(3 + s)}^{\frac{5}{2}})) + C$