Cálculo Ejemplos

$\int x^{3} e^{5 x} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{3}$ y $d v = e^{5 x}$ .

$x^{3} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $e^{5 x}$ .

$x^{3} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x$

Paso 2.2

Combina $x^{3}$ y $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{5} \cdot 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{5} \cdot 3$ fuera de la integral.

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 3 \int e^{5 x} (x^{2}) d x)$

Paso 4

Combina $\frac{1}{5}$ y $3$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} \int e^{5 x} (x^{2}) d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (x^{2} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (x^{2} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

Paso 6.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

Paso 6.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} (2 x) d x)$

Paso 6.4

Combina $2$ y $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x}}{5} x d x)$

Paso 6.5

Combina $\frac{2 e^{5 x}}{5}$ y $x$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x} x}{5} d x)$

Paso 7

Dado que $\frac{2}{5}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - (\frac{2}{5} \int e^{5 x} x d x))$

Paso 8

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

Paso 9.2

Combina $x$ y $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

Paso 9.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} d x))$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \int e^{5 x} d x)))$

Paso 11

Sea $u = 5 x$ . Entonces $d u = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 11.1

Deja $u = 5 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 11.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Paso 11.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{5} d u))$

Paso 12

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u}}{5} d u))$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)))$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u))$

Paso 14.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u))$

Paso 15

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)))$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Reescribe $\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)))$ como $\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) + C$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) + C$

Paso 16.2

Simplifica.

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Paso 16.2.1

Para escribir $- \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) \cdot \frac{5}{5} + C$

Paso 16.2.2

Combina $- \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} + \frac{- \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) \cdot 5}{5} + C$

Paso 16.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{3} e^{5 x} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) \cdot 5}{5} + C$

Paso 16.2.4

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} - 5 (\frac{3}{5}) (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Paso 16.2.5

Combina $- 5$ y $\frac{3}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{- 5 \cdot 3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Paso 16.2.6

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{- 15}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Paso 16.2.7

Cancela el factor común de $- 15$ y $5$ .

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Paso 16.2.7.1

Factoriza $5$ de $- 15$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Paso 16.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 16.2.7.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 3}{5 (1)} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Paso 16.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 1} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Paso 16.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{- 3}{1} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Paso 16.2.7.2.4

Divide $- 3$ por $1$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} - 3 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Paso 17

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} - 3 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{5 x}}{125})}{5} + C$

Paso 18

Reordena los términos.

$\frac{1}{5} (x^{3} e^{5 x} - 3 (\frac{1}{5} x^{2} e^{5 x} - \frac{2}{25} x e^{5 x} + \frac{2}{125} e^{5 x})) + C$