Cálculo Ejemplos

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} - 25} d x$

Paso 1

Sea $x = 5 \sec (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ es positiva.

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $5 \sec (t)$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $25$ de $25 \sec^{2} (t)$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $25$ de $- 25$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $25$ de $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 \tan^{2} (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $25 \tan^{2} (t)$ como ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int {(5 \sec (t))}^{3} (5 \tan (t)) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Factoriza $5$ de $5 \sec (t)$ .

$\int {(5 (\sec (t)))}^{3} (5 \tan (t)) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2.2

Aplica la regla del producto a $5 (\sec (t))$ .

$\int 5^{3} \sec^{3} (t) (5 \tan (t)) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\int 125 \sec^{3} (t) (5 \tan (t)) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2.4

Multiplica $5$ por $125$ .

$\int 625 \sec^{3} (t) \tan (t) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2.5

Multiplica $5$ por $625$ .

$\int 3125 \sec^{3} (t) \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2.6

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int 3125 (\sec^{1} (t) \sec^{3} (t)) \tan (t) \tan (t) d t$

Paso 2.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 3125 {\sec (t)}^{1 + 3} \tan (t) \tan (t) d t$

Paso 2.2.8

Suma $1$ y $3$ .

$\int 3125 \sec^{4} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

Paso 2.2.9

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int 3125 \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2.10

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int 3125 \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Paso 2.2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 3125 \sec^{4} (t) {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 2.2.12

Suma $1$ y $1$ .

$\int 3125 \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

Paso 3

Dado que $3125$ es constante con respecto a $t$ , mueve $3125$ fuera de la integral.

$3125 \int \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Reescribe $4$ como $2$ más $2$

$3125 \int {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

Paso 4.2

Reescribe ${\sec (t)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$3125 \int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Paso 5

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sec^{2} (t)$ como $1 + \tan^{2} (t)$ .

$3125 \int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Paso 6

Sea $u = \tan (t)$ . Entonces $d u = \sec^{2} (t) d t$ , de modo que $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = \tan (t)$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Paso 6.1.2

La derivada de $\tan (t)$ con respecto a $t$ es $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3125 \int (1 + u^{2}) u^{2} d u$

Paso 7

Multiplica $(1 + u^{2}) u^{2}$ .

$3125 \int 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $u^{2}$ por $1$ .

$3125 \int u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 8.2

Multiplica $u^{2}$ por $u^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3125 \int u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Paso 8.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$3125 \int u^{2} + u^{4} d u$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$3125 (\int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3125 (\frac{1}{3} u^{3} + C + \int u^{4} d u)$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$3125 (\frac{1}{3} u^{3} + C + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica.

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Paso 12.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$3125 (\frac{u^{3}}{3} + C + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Paso 12.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $u^{5}$ .

$3125 (\frac{u^{3}}{3} + C + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Paso 12.2

Simplifica.

$3125 (\frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

Paso 13

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 13.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (t)$ .

$3125 (\frac{1}{3} \tan^{3} (t) + \frac{1}{5} \tan^{5} (t)) + C$

Paso 13.2

Reemplaza todos los casos de $t$ con $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$3125 (\frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5})) + \frac{1}{5} \tan^{5} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Paso 14

Reordena los términos.

$3125 (\frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{1}{5} x)) + \frac{1}{5} \tan^{5} (arcsec (\frac{1}{5} x))) + C$