Cálculo Ejemplos

$\int x^{3} \sin (2 x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{3}$ y $d v = \sin (2 x)$ .

$x^{3} (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (3 x^{2}) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\cos (2 x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (3 x^{2}) d x$

Paso 2.2

Combina $x^{3}$ y $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (3 x^{2}) d x$

Paso 3

Dado que $- \frac{1}{2} \cdot 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{1}{2} \cdot 3$ fuera de la integral.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 3 \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - (- 3 (\frac{1}{2}) \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Paso 4.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - (\frac{- 3}{2} \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Paso 4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - (- \frac{3}{2} \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Paso 4.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{3}{2} \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Paso 4.5

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} \int \cos (2 x) (x^{2}) d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = \cos (2 x)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 x)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (x^{2} \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x)$

Paso 6.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x)$

Paso 6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 x)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{\sin (2 x)}{2} (2 x) d x)$

Paso 6.4

Combina $2$ y $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 \sin (2 x)}{2} x d x)$

Paso 6.5

Combina $\frac{2 \sin (2 x)}{2}$ y $x$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 \sin (2 x) x}{2} d x)$

Paso 6.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.6.1

Cancela el factor común.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 \sin (2 x) x}{2} d x)$

Paso 6.6.2

Divide $\sin (2 x) x$ por $1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \sin (2 x) x d x)$

Paso 7

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sin (2 x)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\cos (2 x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x))$

Paso 8.2

Combina $x$ y $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x))$

Paso 8.3

Combina $\cos (2 x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x))$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x))$

Paso 10.2

Multiplica $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ por $1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x))$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x))$

Paso 12

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 12.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 12.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 12.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 12.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 12.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 12.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u))$

Paso 13

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u))$

Paso 14

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)))$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u))$

Paso 15.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u))$

Paso 16

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)))$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Reescribe $- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)))$ como $- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) + C$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) + C$

Paso 17.2

Simplifica.

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Paso 17.2.1

Para escribir $\frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Paso 17.2.2

Combina $\frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{\frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Paso 17.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Paso 17.2.4

Combina $2$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{2 \cdot 3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Paso 17.2.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{6}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Paso 17.2.6

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 17.2.6.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{2 \cdot 3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Paso 17.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 17.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Paso 17.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Paso 17.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3}{1} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Paso 17.2.6.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + 3 (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Paso 18

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + 3 (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Paso 19

Simplifica.

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Paso 19.1

Simplifica el numerador.

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Paso 19.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + 3 \frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + 3 \frac{x \cos (2 x)}{2} + 3 (- \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Paso 19.1.2

Simplifica.

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Paso 19.1.2.1

Combina $3$ y $\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 (x^{2} \sin (2 x))}{2} + 3 \frac{x \cos (2 x)}{2} + 3 (- \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Paso 19.1.2.2

Combina $3$ y $\frac{x \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 (x^{2} \sin (2 x))}{2} + \frac{3 (x \cos (2 x))}{2} + 3 (- \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Paso 19.1.2.3

Multiplica $3 (- \frac{\sin (2 x)}{4})$ .

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Paso 19.1.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 (x^{2} \sin (2 x))}{2} + \frac{3 (x \cos (2 x))}{2} - 3 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Paso 19.1.2.3.2

Combina $- 3$ y $\frac{\sin (2 x)}{4}$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 (x^{2} \sin (2 x))}{2} + \frac{3 (x \cos (2 x))}{2} + \frac{- 3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Paso 19.1.3

Simplifica cada término.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Paso 19.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{3} \cos (2 x)$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x)) + \frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Paso 19.3

Factoriza $- 1$ de $\frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x)) - \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Paso 19.4

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3} \cos (2 x)) - \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2}) + \frac{3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Paso 19.5

Factoriza $- 1$ de $\frac{3 x \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2}) - \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Paso 19.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2}) - \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2}) - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Paso 19.7

Factoriza $- 1$ de $- \frac{3 \sin (2 x)}{4}$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2}) - (\frac{3 \sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Paso 19.8

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2}) - (\frac{3 \sin (2 x)}{4})$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Paso 19.9

Reescribe $- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4})$ como $- 1 (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4})$ .

$\frac{- 1 (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Paso 19.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Paso 19.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x) - \frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Paso 19.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x) - \frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2} - \frac{3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Paso 19.13

Reordena los términos.

$- \frac{1}{2} (x^{3} \cos (2 x) - \frac{3}{2} x^{2} \sin (2 x) - \frac{3}{2} x \cos (2 x) + \frac{3}{4} \sin (2 x)) + C$